从“作图之器”走向“涵养之道”

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将尺规作图列为小学数学教学内容之一。在尺规作图教学中，可采用“在教材衔接处渗透、在新知起点中挖掘、促进不同领域间的相互关联”等方式，引导学生对尺规作图中蕴含的数学思想方法进行探索，让尺规作图成为涵育学生核心素养的载体，真正实现尺规从“作图之器”走向“涵养之道”。

【关键词】尺规作图；数学思想方法；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）首次提出将尺规作图教学纳入小学数学范畴。2022年版课标指出：会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，感知线段长度的可加性；经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边。这些内容为第四学段（7～9年级）进一步学习尺规作图奠定坚实基础。教师要思考如何在相关内容的学习过程中培育学生的数学思维，发展学生核心素养。

一、尺规，从“器”到“道”的哲学审视

对于尺规作图而言，“尺”仅是画直的线的工具，并非用于测量线的长度，“规”则是通过调节圆规两脚间的距离实现作等长线段的一种工具。因此，尺规的组合蕴含了“尺非尺，规即尺”的哲学意蕴，为开展数学探究活动提供了广阔的探索空间。

（一）尺规作图在数学思想中的价值体现

1.尺规作图促进模型思想的认知建构

2022年版课标强调，在理解四则运算含义的基础上，应引导学生理解现实问题中的两种模型，即加法模型和乘法模型。通过尺规作图的“累加”过程，学生在情境中可直观感知“总量=分量+分量”的加法模型，并在分量相同的情况下，理解这一加法模型向乘法模型的转化，从而深化对模型思想的认知（如图1）。

2.尺规操作展现对称思想的结构美感

数学中的对称指的是图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状或排列上具有一一对应的关系。在学完“轴对称图形”后，学生可利用尺规，以直线l为对称轴，设计已知三角形的轴对称图形，从而感受对称思想的结构之美（如图2）。

（二）在尺规作图中探寻相似思维的路径

1.尺规作图为一一对应方法提供一种范式

2022年版课标“附录”部分在实例26“用直尺和圆规作等长线段”中，展现了尺规作图的核心思想。由于采用的直尺是无刻度直尺，即便作出等长线段，也并不知道线段具体的长度。在实例7“通过对应理解大小关系”中，左边的集合中有7个●，右边的集合中有3个●（如图3），通过右边集合中的●与左边集合中的●的一一对应，比较出7＞3，而不是通过计算7-3=4的方法比较出7＞3。因此，用尺规作等长线段既是尺规作图的源头，也是一一对应方法的源头，这种对应方法是数学的基本方法。

2.尺规作图为创新意识培养提供一种思路

在尺规作图教学中，要让学生学会根据给定的三条线段画一个三角形。在此过程中，学生可以选择任意一条线段作为三角形的底边，并以该线段的两个端点为圆心，以另外两条线段的长度为半径，利用直尺和圆规画出三角形（如图4）。这一思路不仅深化了学生对三角形三边关系的理解，还提供了一种全新的学习视角，相较于传统教学中使用固定长度的小棒进行实践操作的方式，尺规作图更能培养学生的推理意识、创新意识和想象力。

（三）在“器”“道”中思索尺规的本质要义

尺规作图有别于一般的画图，是一种利用无刻度（或看不见刻度）的直尺和圆规进行作图的作图方式。正如《周易·系辞上》所言：“形而上者谓之道，形而下者谓之器。”从“形而下”的角度看，尺规是作图工具，能帮助学生正确掌握作图的方法，可作为“作图之器”；从“形而上”的角度审视，尺规作图能够培养学生的核心素养，为终身发展奠定坚实基础，可视为“涵养之道”。

二、尺规，源于“器”与“道”的实践探究

学生通过学习尺规作图的操作方法，掌握规定的尺规作图相关知识，提高问题解决的能力。具体遵循从学科知识体系建构到学生认知结构形成的路径，最终指向学生核心素养的发展。因此，对于尺规的教学，教师不仅要强调其实用性（“器”的层面），还要深入挖掘其背后的原理与规律（“道”的层面）。

（一）在教材衔接处渗透，完善尺规教学的结构

根据2022年版课标，尺规作图的教学被安排在第二学段，要求学生会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。为更好地实现这一目标，教师可以利用教材资源，提前进行相关知识点的渗透，让学生学会将圆规的两脚对应一条线段的两个端点，感悟线段的长短与圆规两脚张开的大小有关。

1.在第一学段中捕捉尺规素材

2022年版课标对圆规使用的教学，由原先五年级的“圆的认识”，调整到第二学段“作一条线段等于已知线段”的教学中。鉴于此，有必要考虑让学生更早接触圆规这一工具。

以苏教版教材一年级上册的练习题为例（如图5），该题安排在完成“比一比”的教学后，要求学生根据线段长度在相应的方框内画“√”。

在教学中，教师应引导学生以其中一条线段为标准，先通过一拃（每个人一拃不一样长且不固定）进行比较，进而引入圆规，并强调圆规两脚张开大小的可调节性（类似于一拃的大拇指和食指，但能够固定）。这种利用圆规建立比较标准，比较两根跳绳的长短的方法，对于学生核心素养的培养具有深远意义。

2.在第三学段中拓宽尺规设计

2022年版课标在第三学段只安排了一个关于尺规作图的教学内容，即“引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边”。这一安排突破了传统依赖动手测量或小棒摆搭等方法的局限，是教学方法的进步。然而，若将尺规的功能仅局限于解决教学重难点，即验证三条线段能否围成三角形，这样的教学显然是不够充分的。

为此，教师可以引导学生围绕具有挑战性的学习主题进行深入探究，具体设计如下教学。

（1）有线段a、b、c，已知a+b>c，它们能否围成三角形？如果能，以不同线段为底边，围成的三角形形状是否相同？（如图6）

（2）如果选定其中的一条线段（以线段c为例），你能画出两个三角形吗？（如图7）

（3）如果延长线段a，使其与线段b相等，那么所画出的两个三角形，它们可以组成一个什么样的图形？（如图8）

（4）连接两个弧的交点得到线段d，与线段c相交于点O（如图9）。线段c、d有什么样的位置关系？交点O有什么特别之处？

这一教学内容的设计有助于学生经历有意义的学习过程，促进他们体验成功并获得发展。同时，这些内容的学习也为学生第四学段进一步学习尺规作图（如作一条线段的垂直平分线）打下基础。

（二）在新知起点中挖掘，凸显尺规教学的价值

尺规作图作为2022年版课标中的独立内容，其背后蕴含着丰富的数学思想。在教学中，教师应将其视为“种子课”，深入挖掘其背后的数学价值。通过精心设计教学活动，引导学生体验尺规作图的魅力，激发其数学学习兴趣，为后续学习打下坚实的基础。

例如，2022年版课标在教学提示中指出：“图形的周长教学可以借助用直尺和圆规作图的方法，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性。”利用直尺和圆规，能将三角形的三条边画在一条直线上。这种方法同样适用于四边形、五边形等小学阶段学习的平面图形（如图10）。

在此过程中，学生借助尺规将图形的一周精确地呈现在一条直线上。学生具身参与操作活动，有助于学生直观理解周长概念。在此基础上，通过尺规进一步比较不同多边形的周长，探讨如何通过尺规表示不同多边形边长（周长）之和（差）等问题，从而帮助学生深入理解尺规作图的本质，发展学生的推理意识。

（三）促进不同领域间的相互关联，巧用尺规提质赋能

数学是一门系统性很强的学科，其每一个数学概念和规律都应融入完整的数学知识结构中。2022年版课标强调课程内容结构化，深化数学知识间的内在联系。在尺规作图的教学中，不仅要在“图形与几何”领域内部进行关联，还要突破这一界限，与其他领域建立联系，以实现知识的结构化。

1.借助尺规工具，强化问题解决能力

数学概念、性质和规律等数学知识，虽然在表面上呈现为独立的知识点，但实质上相互关联。教师在教学时应从全局视角出发，确保学生认识知识点之间的内在联系，形成结构化的知识体系。

例如，在教学“小数进位加”时，教师可引导学生利用尺规作图对3.6+4.5=8.1进行直观验证，以体现数形结合的思想。具体步骤为：（1）分别画出AB=3.6厘米和CD=4.5厘米的两条线段；（2）利用圆规将这两条线段在同一条直线上进行累加（B、C两点重合）（如图11），通过测量得到线段AD=8.1厘米；（3）引导学生思考线段AB+CD=AD与3.6+4.5=8.1之间有怎样的关系。

2.通过尺规操作，深化知识间的联系

尺规作图的操作活动具有形象性的特征，能够帮助学生深入理解抽象的数学知识，并把握问题的本质。例如，在“公倍数和最小公倍数”的教学中，苏教版教材提出的“6和9的公倍数有哪些？其中最小的是几？”这一问题，虽然能通过列举法直接找到答案，但在实际运用中，学生常因对公倍数、最小公倍数之间的关系理解不足而产生困惑。

利用尺规作图，学生可以直观地理解公倍数和最小公倍数的本质。这种方法不仅提高了学生寻找公倍数和最小公倍数的直观性，而且有助于他们迅速理解题意，建立起数学知识与实际生活之间的紧密联系。具体操作及思考过程如下。

（1）操作。首先画一条线段；接着进行第一次操作，将圆规两脚张开到6毫米，沿线段进行多次累加截取（如6毫米、12毫米、18毫米……）；随后进行第二次操作，将圆规两脚调整至9毫米，再次进行多次累加截取（如图12）。

（2）思考。在操作过程中，引导学生思考：“第一次操作与数‘6’之间存在怎样的关系？”“第二次操作与数‘9’又有怎样的关系？”“为什么重叠处恰好是6和9的公倍数？”通过这样的操作与思考，学生将更深刻地理解公倍数和最小公倍数的概念，并在解决实际问题中灵活运用。

从“道”到“器”是去往，从“器”到“道”是复归 ，去往而后复归。去往，是道生万物，是朴化为器；复归，是从万物复归于道，是器复归于朴。正如老子所言：“反者，道之动。”尺规作图的“反者之动”就是学生思维去往与复归的循环往复，即从核心素养到数学方法的深入探索以及从方法到素养的回归提炼。因此，尺规作图教学不应仅限于掌握作图技巧这一层面，而应深入探索其背后的价值意义，让尺规作图成为涵育学生核心素养的载体，真正实现尺规从“作图之器”走向“涵养之道”。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］俞正强.种子课2.0：如何教对数学课［M］.北京：教育科学出版社，2020.

［3］何优优，金勤．“尺规作图”突破几何直观的局限：“画线段”教学实践与思考［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（7/8）：35-39．

［4］刘加霞，潘丽云.尺规作图的历史溯源、育人价值及教学建议［J］.小学教学（数学版），2022（7/8）：20-24．

（江苏省淮安市实验小学）