分层组织教学 构建概念结构

【摘 要】人教版教材“平行四边形和梯形”单元的教学内容包括“平行与垂直”与“平行四边形和梯形”两个层次的学习。教师首先对教材中这两个层次的教学内容，进行系统梳理，发现其编排特点；接着依据课程理念进行反思，提出可以改进之处；最后进行教学实践，实现体现新课程理念的单元整体教学，帮助学生构建起更加扎实的可持续的概念结构。

【关键词】分层组织；构建结构；平行四边形和梯形

顾名思义，“平行四边形和梯形”单元的主要教学内容是认识平行四边形和梯形。然而，深入分析人教版教材本单元的结构后，不难发现，对平行四边形和梯形的认识只是其中的一个板块，在学习这一个板块之前，学生需先行学习平行和垂直等概念。因为这些概念是给平行四边形和梯形下定义、概括图形的高的学习基础。基于这样的单元结构，教师需思考以下三个方面的问题：一是如何在“平行与垂直”的教学中，既做到为后续学习奠定基础，又优化本板块学习结构？二是在“平行四边形和梯形的认识”的教学中，除了依据图形特征下定义外，是否还能通过定量刻画描述这些图形的特征，特别是理解图形的高在刻画图形特征中的关键作用？三是针对本单元画图内容多的特点，进行整体梳理，提炼出一种最基本的画法。基于对以上问题的思考，我们从梳理、反思与实践三个维度进行了本单元整体教学设计。

一、梳理——剖析单元编排特色

对人教版教材“平行四边形和梯形”单元的编排结构进行系统梳理，发现其被明确划分为“平行与垂直”和“平行四边形和梯形”两个独立板块，各自构建完整的学习体系。具体编排情况如表1所示。

通过梳理，可以概括出以下几个方面的编排特点。

（一）种差概念先行学习

在初等数学中，用得最多的是属加种差定义。例如，“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”就是一个属加种差定义。这个定义表明：平行四边形是一种四边形，它和其他四边形的区别在于它的“两组对边分别平行”。在上述定义中，先指出了一个更一般的概念（四边形），即属概念，被定义的概念则是它的特例（平行四边形）；再指出被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（两组对边分别平行），即种差。

根据以上关系，本单元对平行与垂直的学习，实质上是作为种差概念的先行学习。其中，平行是给平行四边形和梯形下定义的种差；垂直则是概括点到直线的距离、平行线间的距离、平行四边形和梯形的高的种差。

（二）首次对图形下定义

这里的图形特指小学阶段学习的封闭图形，包括长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆等。在本单元之前，学生对长方形和正方形已经历两轮学习：第一轮在一年级下册，学生初步认识了这两类图形；第二轮在三年级上册，学生借助直角和线段的初步认识，概括长方形和正方形的特征，但尚未给予正式定义。而本单元则依据“平行”这一概念，对平行四边形和梯形首次下定义。

此外，通过定义平行四边形，还能进一步明确其与长方形、正方形之间的包含关系。

（三）画图贯穿单元学习

从表1中可以看出，画图是贯穿本单元学习的重要手段。首先，学生需在白纸上任意画两条直线，以此为基础，在第1课时中研究两条直线的位置关系，并通过分类思想逐步提炼出“平行”与“垂直”这两个概念。其次，学生将学习如何画垂线。在第2课时中，学生将掌握画互相垂直的两条直线的方法，并在此基础上创设问题情境，丰富画垂线的形式和应用场景。第3课时则进一步应用画垂直线段的方法，使用三角板与刻度尺画长方形与正方形。再次，学生将在点子图上画平行四边形与梯形。由于学生尚未学习使用直尺和三角板画平行线的方法，因此在练习中特别安排了在点子图中画这两种图形。最后，学生将学习如何画平行四边形和梯形的高，其画法与画平行线间的距离相似。

二、反思——找出可以改进之处

在对本单元教学内容的梳理过程中，也发现了可以改进之处，如：在“平行与垂直”的教学中可以添加“相交”的概念，以此为基础构建逻辑更加严密的学习序列；在平行四边形和梯形的学习中，利用网格图认识这两类图形，适度融入定量刻画的方法，这不仅能够加深学生对图形特征的理解，还能提升他们对图形分析的能力；在多种情境下的画图实践中，教师应引导学生归纳出共同的画图方法。

（一）优化种差概念的学习序列

“平行与垂直”并非同一分类层次的概念，平行与相交才是，因此笔者建议对教材的教学内容进行调整。具体而言，在第1课时中教学“平行与相交”，以平行的学习为主，并通过网格中的平行四边形实例，解释“平行四边形”中“平行”的含义，深化学生对平面内两条直线有平行与相交这两种位置关系的认识。在第2课时中教学“垂直与垂线”，将互相平行的两条直线，通过动态演示将其旋转成直角，使学生明确垂直是相交的一种特殊形式。

（二）图形特征量化分析的必要性

平行四边形和梯形学习中“高”的概念，不仅在当前的图形认识阶段具有重要意义，在后续的面积计算中也会发挥作用。高可用于区分不同形态的平行四边形的特征，教师可以借助网格图引导学生观察平行四边形框架拉伸过程中高的变化，直观呈现其形变特征。

（三）统一画图方法的探索

本单元的学习过程中，画图是不可或缺的重要环节。通过对比分析不同情境下的画图实践，除了在白纸上画任意两条直线以及在网格图上画平行四边形和梯形外，其他的画图实际上都涉及到画垂直。最基本方法就是利用三角板或量角器等工具绘制直角。找到了画图的共同点，学生可以建立起与画图相关概念的表象，更好地掌握画图的方法。

三、实践——实施结构化教学策略

基于单元整体设计，通过反思确定了需要改进的方向。然而，将这些改进转化为具体的教学实践，尚需精心选择学习材料，设计促进学生深度思考的问题情境，并组织开展有效的教学活动，以构建更为完整的认识结构。

（一）优化学习序列，丰富学习内容

通过梳理与分析，对“平行与垂直”的学习序列进行了重构，并在“平行四边形和梯形”的学习中添加了新的学习内容。同时，对单元中的画图方法进行了概括，力求实现教学的结构化，具体安排如表2所示。

在上述五个课时中，第3课时与教材原来编排保持一致，第1、第2课时主要是学习序列的重构，第4、第5课时主要是学习内容的丰富。

（二）基于已有经验，形成概念结构

这里将深入探讨“平行”“相交”与“垂直”这三个概念。尽管教学内容被划分为两个课时，但在学习材料的选择与学习思路的构建上，力求与教材保持高度的一致性与连贯性。

1.课堂导入的连续性体现

在第1课时“平行与相交”教学中，首先，教师出示一个平行四边形（如图1），请学生说一说“它是什么图形？”在学生辨认是平行四边形后，再一次解释“平行”的含义，学生指出是“平平的”。接着，教师利用教具（如图2）在黑板上画出两组平行线。最后，引导学生通过辨析两条直线是否平行（如图3），归纳出两条直线的位置关系是平行还是相交。

在第2课时“垂直与垂线”教学中，以第1课时学习的平行概念为起点，教师出示一组平行线，并通过旋转其中一条直线，分别演示两条直线相交与垂直的情况（如图4），以此完善对两条直线位置关系的理解。

2.学习材料的结构性安排

鉴于“平行”与“垂直”在图形中常常并存，两节课在练习环节采用了相同的学习材料，但根据不同的课时提出了针对性的任务。具体而言，如图5所示，在“平行与相交”教学中，让学生找出图中的平行关系，如AC∥ED；在“垂直与垂线”教学中，让学生找出图中的垂直关系，如CA⊥AB，DE⊥AB。通过这样的练习，学生不仅加深了对平行与垂直概念的理解，还进一步探索了两者之间的联系，概括出“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的重要性质。

3.基于立体图形的适度拓展

在教材中，平行与垂直的概念主要围绕两条直线的位置关系展开。然而，在立体图形的背景下，这两个概念得到了更为广泛的延伸，包括平面与平面之间的平行与垂直关系。

为了帮助学生构建更为全面的空间观念，这两节课的最后一道习题选用同一个长方体（如图6）作为学习材料。在第1课时中，学生从图6中找到三组两两平行的直线后，教师适时引导学生思考，是否存在“面”与“面”之间互相平行，并探讨如何验证。在第2课时中，则进一步要求学生找出哪两个面互相垂直，并讨论验证方法。这样的设计不仅有利于巩固学生对平行与垂直概念的理解，还能促进他们空间观念和推理意识的发展。

（三）基于定量刻画，深化图形认识

在平行四边形与梯形的认识中，学生明确了平行四边形和梯形两个概念后，教师可以借助网格图，引导学生比较不同的平行四边形或梯形，辨析它们的不同之处，并在这一过程中，让学生学会用具体的数量来量化这些差异。

1.描述变形后的平行四边形

在“平行四边形的认识”教学中，学生通过操作（拉动）长方形框架（如图7）直观体验了平行四边形的易变形性。随后，教师以板贴形式展示图8和图9两个平行四边形，要求学生仿照描述长方形的方式（如长7厘米，宽5厘米的长方形），来说明这两个平行四边形的特征。经过独立思考与集体交流，他们概括得出：图8是一个底为7厘米，高为4厘米的平行四边形；图9则是一个底为7厘米，高为3厘米的平行四边形。

2.描述不同形状的梯形

在定义梯形概念后，可以对其进行定量刻画。教师出示图10中的两个梯形实例，先让学生对比①号梯形与②号梯形，说一说有什么相同点与不同点。在学生回答的基础上，教师进一步概括：两个梯形的相同点是“上底”与“下底”长度相等，分别为2厘米和5厘米；而不同之处在于它们的高的长度不同，①号梯形的高为4厘米，②号梯形的高为2厘米。随后，在图10的两个梯形中，让学生分别标注出相应的概念名称、画出高，以加深学生对梯形特征的理解。

3.深入探究图形大小的比较

由于图8与图9两个平行四边形都置于网格中，学生还发现：它们的面积并不相等。为了验证这一直观感知，学生可以运用割补法将平行四边形转化为长方形，并逐一数出小正方形的数量验证直观猜想。

在探寻图10中两个梯形的差异时，学生发现①号梯形的面积明显大于②号梯形。为了更直观地展示这一点，教师可以将两个梯形重叠，让学生清晰地看到①号梯形中包含了②号梯形的全部面积。

本单元的整体设计为教师提供了宝贵的教学启示。学习数学概念具有层次性。在教学设计时，教师应具备整体视野，既要关注当前的教学内容，又要兼顾前后的知识衔接，努力探寻并揭示概念之间的内在联系，从而构建一个层次分明、逻辑清晰的概念结构。同时，在教学中，教师应根据学生已有的学习基础，精心选择结构化的学习材料，通过引导学生主动参与、积极思考，逐步构建结构化、延伸性的概念体系。

（1.浙江省杭州市余杭区良渚第二小学

2.浙江省杭州市余杭区良渚古墩路小学

3.浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学）