面接触物体沿接触面法向方向的加速度一定相等吗

通过面接触可以看作刚体的两个物体，由于刚体受力能够保持形状和大小不变的性质，所以面紧密接触两物体，他们沿着接触面法向方向速度相等，这是显而易见的；然而法向方向与加速度存在什么关系，是否也一定相等呢？学生常常认为他们一定是相等的，这是错误的认识，是亟待解决的一类问题。文章分析了教学中普遍存在的这种错误，并使用了相对运动法和求导法两种方法详细地讨论了面接触物体加速度关联问题，最后提出了有效的教学建议。

一、问题提出

例1.如图1所示，一半径为r的半圆柱体沿水平方向做加速度为a的匀加速运动，在圆柱面上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，当圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P的角位置为θ。求此时竖直杆运动的速度和加速度。

错误解答：直杆上的P点和半圆柱体接触点没有分离，始终紧密接触，故沿法向方向的速度相同，即vPcosθ=vsinθ，化简得vP=vtanθ；对分别将直杆下端P的加速度aP及圆柱体的加速度a沿着接触面法向方向进行分解可得aP cosθ=asinθ，化简得aP=atanθ。

直杆与半圆柱体紧密接触，没有分离，故沿着法向方向二者没有相对运动，法向分速度相等，因此对速度的求解是正确的。对于加速度求解，很多学生根据a=得出：经过相同的时间，沿着法向方向加速度也相等。以上学生作答似乎严密，但实际上加速度的求解是错误的，教学中发现学生在这里很容易出错。

二、特例检验

我们用一个特例来检验一下。当θ=0时，直杆下端运动到半圆柱顶，a sin θ=0，aP cos θ≠0，可见a sinθ≠aP cos θ，所以aP=a tan θ是错误的。下面我们分别用两种方法给出正确解析。

三、错因分析

解析1：相对运动法

题后反思：我们也可以直接对公式vPcosθ=vsinθ两边分别对时间求导化简得aP cosθ=asinθ-。可见杆下端与半圆柱体接触点在法向方向的速度分量的大小变化率是相等的。由以上两种方法得出的结果可知aP cosθ≠asinθ，aP≠atanθ，即杆端P的加速度沿着法向方向分量与半圆柱体的加速度a沿着接触面法向方向分量并不相等。究其原因是竖直杆上的P点相对半圆柱体做变速圆周运动，相对半圆柱有沿着法向指向圆心方向的向心加速度an=-。接下来，我们用相对运动法分析木块和斜面相对地面的加速度关系。如图4所示，一物块放在斜劈上，各接触面均光滑。分析木块和斜劈相对地面的加速度关系。物块沿斜劈的斜面下滑，而斜劈后退；以斜劈为参考系，物块始终紧贴在斜面上，且物块相对于斜劈沿着斜面向下滑动，有沿着斜面向下方向的加速度。物块并没有相对于斜面转动。因此，在垂直斜面方向上，物块、斜面的加速度分量相等。可见用相对运动法能有效解决此类问题。我们用此方法来分析例2。

例2.一半径为R的半圆柱面在水平面上向右做加速度为a的匀加速运动，在柱面上有一系在水平绳子自由端的小球P，绳子的另一端固定在墙面上。如图5所示，当小球相对于半圆柱面的角位置为θ时，半圆柱面的速度为v，求此时小球的速率和加速度的大小。

解析：相对运动法

综上所述，对面接触物体，其接触面间沿法向方向具有相同的速度，接触点在法向方向的速度分量的大小变化率是相等的。但法向方向加速度分量不一定相等。绳连接和杆连接与面接触物体具有类似的规律，连接体的加速度关系比较复杂，要考虑到连接体之间，绳杆等是否有相对转动而引起的向心加速度。当然高中阶段不要求定量计算加速度大小不同的连接体问题，但是此类问题并没有超出高中学生的能力问题。教师教学中应该慎重把握教学深度，建议用相对运动法，画矢量图形直观地处理该类问题。实践表明，学生还是比较容易理解和掌握的。对于用求导法计算，难点在于复合函数求导法则，建议教师对学有余力的学生介绍一下。教学中要特别强调对于绳连接和杆连接与面接触物体等三类连接体，只有在接触面之间、绳杆没有相对转动的条件下，连接体在接触面法向方向、沿着绳杆方向才具有相同的加速度，否则，学生会错误地认为任何情况下都是相等的。

（作者单位：江苏省宿迁市第一高级中学）

编辑：温雪莲