如何深入开展高中数学立体几何教学

一、课标解读

《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于数学核心素养的要求可以概括为“三会”，即数学眼光、数学观察；数学思维、数学思考；数学语言、数学表达。其中“三会”关联三个基本数学思想，即抽象、推理与模型，它们彼此之间具有紧密联系。课标明确要求要在图形与几何知识学习中发展学生的几何直观，促进空间想象能力、逻辑推理能力等发展。而高中数学“立体几何”模块知识主要是关于点、线、面、体之间关系的知识，基于这些知识的剖析和运用过程，能够有效培养学生的几何直观意识，促进“三会”核心素养发展。

在立体几何知识教学中，通过对点、线、面、平面、多面体等基本概念进行分析，熟悉几何公式，学习图形的投影，学生能够更好地理解图形的形状和位置关系，以此深化对抽象概念的理解与运用，不仅锻炼了抽象思维与逻辑推理能力，还培养了数学建模与直观想象的技能。在立体几何问题求解时，学生需要灵活运用数学公式与立体几何计算公式进行合理推理和精确计算，以此促进数学运算能力发展；通过练习、观察和思考，可以培养对平行、垂直、相交、倾斜等空间关系的感知能力；通过学习和应用直接证明、间接证明、反证法等常用的证明方法，能够促进逻辑思维能力、推理论证能力等发展；通过观察物体、构建模型、进行图形旋转等活动，培养空间想象能力，能够更好地理解和解决立体几何问题。如此，教师基于立体几何教学可以有效促进学生数学核心素养养成。

二、教材解读

“立体几何”模块知识是义务教育阶段数学知识体系构成的重要内容，本部分知识是高一数学必修二第八章“立体几何初步”主题下的内容。这一章内容通过引导学生从二维平面进入三维空间，全面展现了数学核心素养的培养过程。在这一章节中，教材精心选取了具有代表性的立体几何内容，不仅让学生初步掌握了点、线、面在三维空间中的基本性质与关系，还通过一系列实践活动和练习题，着重培养了学生的数学抽象能力，使其在观察、想象、分析三维图形时，能够提炼出数学的本质特征。同时，教材还注重逻辑推理的训练，让学生在证明几何命题的过程中，逐步学会严谨的推理方法和论证技巧。在这一过程中，学生的直观想象能力得到了锻炼，他们开始学会用数学语言描述空间图形，用数学模型解决实际问题。最后，通过大量的数学运算练习，学生不仅提高了自己的运算能力，还进一步加深了对立体几何知识的理解和掌握。因此，这一章节的教材内容设计既符合学生的认知规律，又能够全面、有效地培养学生的数学核心素养，为学生未来的学习和职业发展奠定了坚实的基础。

三、学情分析

在立体几何教学中，学生的基础知识掌握是构建知识体系的重要基石。通过对学生初中阶段平面几何知识的回顾与测试，笔者发现大部分学生对基本图形、性质、定理等有较为扎实的基础，能够初步理解和应用相关知识。但在立体几何的引入阶段，部分学生对三维空间的概念理解尚不全面，对空间图形的性质掌握不够深入。同时，高中立体几何教学对高中生的空间想象能力、逻辑思维能力、知识融合和应用能力等这些能力要求较高，此时许多高中生在面对复杂问题时，逻辑思维的连贯性和严密性尚不足，如在构建空间模型、想象空间位置关系方面存在困难。针对这种情况，基于核心素养培养开展立体几何教学，教师需要采取恰当手段进行引导，如借助实物或多媒体辅助工具来增强空间感知等。

四、教学目标

1.数学抽象与逻辑推理素养：能够运用数学语言描述三维空间中的图形与关系，掌握立体几何的基本概念和性质，并能够通过逻辑推理证明相关命题。

2.数学建模与问题解决素养：通过实际问题的引入和解决，培养学生运用立体几何知识建立数学模型的能力，以及运用这些模型解决实际问题的能力。同时，鼓励学生在解决问题的过程中进行探索和创新。

3.数学运算与数据分析素养：进行适当的数学运算，如向量运算、角度计算等，提升他们的数学运算能力。同时，通过分析空间图形的数据特征，培养学生的数据分析能力。

4.直观想象与空间观念素养：培养学生的空间观念，使他们能够想象并描述三维空间中的图形及其关系。鼓励学生运用直观想象来探究立体几何问题，提升他们的空间思维能力。

5.数学文化与情感态度：了解数学在现实生活中的应用和价值，感受数学的魅力。同时，通过小组合作和探究学习，培养学生的团队合作精神和创新能力，使他们对数学学习保持积极的态度和浓厚的兴趣。

五、教学重难点

教学重点：培养空间观念和几何直觉，使学生可以理解并抽象出三维空间中的基本元素及其关系；培养逻辑推理能力和空间想象能力，使学生灵活解决立体几何问题。

教学难点：空间观念想象力、逻辑推理能力等核心素养下数学关键能力的培养；证明题解题思路与方法。

六、教学过程

（一）课前准备活动

1.趣味导入

教师在课前可以提前为学生准备一些3D打印的精美物品以及空间构形游戏的软件和操作指南，之后在课堂教学知识导入环节可以展示给学生：“同学们，大家有没有见过这些物品呢？它们有什么共同特点？”（引导学生意识到这些物品都是根据立体几何的原理设计和制作出来的，并简要介绍3D打印技术及其在日常生活中的应用，如打印模型、艺术品等。强调3D打印技术的基础是立体几何，从而引出本节课的主题——立体几何初步。）

2.互动体验

本环节设计一款简单的空间构形游戏，让学生在游戏中体验三维空间的结构和性质。首先将学生分成若干小组，每组选出一名代表参与游戏。然后指导学生：“同学们，各小组学生需要根据给出的二维平面图，通过旋转、平移等操作，构造出对应的三维立体图形。”除了现场操作的学生外，其他小组成员观看并给出建议。

3.视频展示

教师利用多媒体设备，为学生播放现实生活中的一些立体几何的相关事物，引导学生加深印象，同时通过播放直观、形象的视频调动学生参与课堂活动的积极性。在播放过程中，教师还可以融合动画、游戏等趣味性强的立体几何图象内容，丰富课堂内容，同时能激发学生兴趣。

（二）新课讲授

1.导入新课

师：同学们，回顾一下我们之前学习的平面几何知识，大家还记得构成图形的基本元素有哪些吗？

生：点、线、面。

师：很好，点、线、面确实是平面几何的基础。那么，现在请大家想象一下，如果我们把这些基本元素从平面扩展到三维空间，它们会如何组合成更复杂的几何形状呢？

（学生尝试想象并回答）

师：没错，当我们将点、线、面扩展到三维空间时，就可以得到各种立体几何图形。这些图形不仅具有丰富的空间结构，还蕴含了深刻的数学原理。今天，我们就将一起踏入立体几何的世界，探索其中的奥秘。

2.概念讲解与空间想象

师：首先，我们来看一下立体几何中的基本元素——点、线、面。请大家想象一下，如果我们在空间中随意取一个位置，这个位置就是一个点；如果我们将两个点连接起来，就得到了一条线；如果我们将无数条相交的线围起来，就形成了一个面。

（学生跟随老师的引导，尝试进行空间想象）

师：很好，现在我们来进一步探究点、线、面之间的关系。请大家想象一个空间中的点，它位于两个面的交线上，那么这个点、线和面之间有什么关系呢？

生：这个点同时属于这两个面，这条线是这两个面的交线。

师：非常棒！通过这个例子，我们可以看出，在立体几何中，点、线、面是相互关联的，它们之间的关系需要我们用数学语言进行精确描述。

师：现在，我们将进行一次特殊的体验活动——“盲人摸象”。我们将通过触摸来感知立体几何的形状和性质，这将是一次全新的挑战。

活动流程：

（1）学生分成小组，每组选出一位“盲人”，其余成员负责引导。

（2）每组领取一个立体几何模型（如球体、圆柱体等），“盲人”需要通过触摸来感知模型的形状和特征。

（3）引导者负责向“盲人”描述模型的形状和性质，如“这是一个圆形，表面光滑，有一个中心点”等。

（4）“盲人”根据引导者的描述，尝试在心中构建模型的空间结构，并回答一些问题，如“这个模型有几个面？”“它是对称的吗？”等。

该趣味“盲人摸象”体验活动可以活跃课堂气氛，激发学生的主动参与兴趣。在参与活动中，即使无法直接看到模型，学生仍然能够通过触摸和引导者的描述，在心中构建模型的空间结构。同时，学生需要根据引导者的描述，运用逻辑推理来判断模型的形状和性质，这样有利于促进他们空间想象能力和逻辑推理能力的发展，深化他们对几何图形相关概念的理解。

3.活动探究：构建立体图形

师：接下来，我们要开展一项有趣的活动。请大家用手中的橡皮泥或纸张等材料，尝试构建一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆锥等。

（学生动手操作，构建立体图形）

师：非常好，大家都做得非常棒！现在，请大家仔细观察自己构建的图形，思考一下它们有哪些共同点和不同点，这些图形在空间中是如何摆放的。

生1：它们都是由面围成的，但形状不同。

生2：它们在空间中可以自由旋转。

师：非常好！通过这些活动，我们不仅加深了对立体几何图形的认识，还锻炼了空间想象能力和动手能力。

师：立体几何不仅仅是理论知识，它也可以变得很有趣。接下来，我们将进行一个立体几何拼图大赛，看看谁能用这些几何块拼出最有创意的图案。

活动流程：

（1）教师准备各种形状的几何块，如正方体、长方体、三棱锥等。

（2）学生分组，每组领取相同数量的几何块。

（3）每组在规定的时间内，使用这些几何块拼出一个图案或模型，并对其进行描述和解释。

（4）各组展示自己的作品，并相互评分，最后选出最有创意的作品。

在这个立体图形构建的动手实践中，学生需要在心中构思图案的形状和结构，然后将其转化为实际的几何块组合。这个过程有效促进了他们的空间想象能力的发展；学生需要将具体的几何块抽象为数学图形和概念，以便更好地进行拼接和描述，这个过程需要学生发挥自己的抽象思维进行思考，有利于培养他们的数学抽象能力。

4.逻辑推理与证明

师：在立体几何中，除了基本的图形元素和空间想象外，逻辑推理也是非常重要的一部分。我们要通过已知条件进行推理证明，得出一些性质或结论。例如，如果我们知道一个四边形的四边都相等且相邻两边互相垂直，那么我们可以证明这个四边形是一个正方形。

（学生跟随老师的引导，理解逻辑推理在立体几何中的应用）

师：在今后的学习中，我们将经常遇到需要进行逻辑推理的问题。因此，大家要不断提高自己的逻辑思维能力，学会用数学语言精确地表达和证明。

师：同学们，下面我会给大家展示一个立体几何模型，并给出一个与模型相关的谜题。你们需要根据模型的特征和已知条件，运用逻辑推理来解答谜题。每个谜题都有一定的时间限制，所以大家要迅速思考，及时作答。

谜题一：正方体的对角线

师：现在，我手里有一个正方体模型。请大家思考，如何用一个直尺和一个直角三角板来证明正方体的体对角线等于它的三条棱长的平方和的平方根？

（学生观察模型，思考并尝试证明。教师引导学生利用勾股定理进行推理和证明。）

谜题二：三棱锥的体积

师：接下来，我们来看一个三棱锥模型。我们如何证明三棱锥的体积等于其底面积乘以高再除以3？

（学生观察模型，思考并尝试证明。教师引导学生利用平行截面性质进行推理和证明。）

师：现在，我们将进入互动环节。我会邀请几位同学上台来参与游戏。你们需要根据我给出的谜题和模型迅速给出答案，并解释你的推理过程。

（学生积极参与游戏，展示自己的逻辑推理能力。教师根据学生的表现给予点评和指导。）

师：通过今天的游戏，我们不仅玩得很开心，学习了立体几何方面的知识，还学到了很多关于立体几何中的逻辑推理与证明的知识。希望大家能够把今天学到的知识应用到日常学习中，不断提升自己的数学核心素养。

（三）课后巩固与提升

师：同学们，通过今天的课堂学习，我们深入了解了立体几何的基本概念和性质。为了更好地巩固所学知识，并展现大家的创造力和数学核心素养，我为大家设计了一个课后作业——创意立体几何模型制作。

作业内容：

（1）选择主题：你可以选择一个感兴趣的立体几何主题，如正方体、球体、圆柱体、圆锥体等，或者尝试探索一些更复杂的组合体。

（2）设计模型：在纸上画出你的模型设计图，标出各个面的大小、形状和相对位置。考虑使用不同的颜色和标记来区分不同的面或部分。

（3）材料准备：收集适合制作模型的材料，如硬纸板、泡沫板、塑料棒、绳子等。确保材料足够坚固，能够保持模型的稳定性。

（4）动手制作：根据设计图，开始制作你的立体几何模型。在制作过程中，注意保持准确性，确保各个部分符合几何学的规律。

（5）附加挑战：除了基本的几何形状，你还可以尝试在模型中添加一些特殊的元素或功能，如可动关节、隐藏空间等，以增强模型的趣味性和挑战性。

（6）展示与评价：完成模型后，你可以将其带到课堂上进行展示。我们将组织一次小型的模型展览会，大家可以相互欣赏、学习和评价彼此的作品。

七、教学反思

从课前准备环节来讲，教师通过趣味导入、互动体验以及视频展示方式引入立体几何方面的知识，有利于激发学生主动接触立体几何知识的兴趣，保障高效导入这部分立体几何学习。新课讲授环节，通过师生互动讨论的方式，结合一系列学生自主动手操作活动，活跃课堂教学的氛围，如“盲人摸象”体验活动能够巩固学生关于立体几何基本知识的认识的同时，有效提升他们的空间想象能力和逻辑推理能力。

从作业设计环节来讲，在设计模型时，学生需要在纸上画出设计图，并在心中构建出模型的三维结构。这要求他们具备良好的空间想象能力，能够准确把握各个部分的位置和关系。同时，在制作模型的过程中，学生需要将具体的材料抽象为几何图形和概念，如点、线、面等。这要求他们具备较高的数学抽象能力，能够将现实问题转化为数学问题进行解决。而在“附加挑战”中，学生需要发挥创造力和创新能力，尝试在模型中添加一些特殊的元素或功能。这不仅能够锻炼他们的思维能力和动手能力，还能够培养他们的创新精神和探索精神。通过这样的课后作业设计，学生可以在实践中巩固所学知识，提升数学核心素养，同时培养自己的创造力和动手能力。

（作者单位：陕西省榆林市靖边县第三中学）

编辑：张俐丽