在数列教学中培养学生数学核心素养的措施

随着新课程改革的持续深入，许多教师尝试逐步培养学生的自主学习能力和数学核心素养.数列是高中数学中的重要内容.教师在教学中可以根据学生的实际情况，结合教学内容，采用不同的方法来培养学生的核心素养.

一、将理论与实践结合起来，培养学生的抽象思维

数列知识具有较强的抽象性，以至于很多学生往往难以理解数列的概念和性质，对此教师需要借助具体实例和图形来帮助学生建立对数列的直观认识.此外，数列知识在现实生活中有广泛的应用，例如在金融、工程、物理等领域中都有涉及.教师要将理论与实践结合起来，引导学生结合已有的生活经验来研究数列的规律，培养学生的数学抽象思维能力.教师可以选择一些生活实际问题，如银行存贷款利息计算问题、物理中的运动问题，来引导学生建立数列模型，利用数列的概念和性质来解决这些问题.

例如，在教学等比数列的性质时，教师提出这样的问题：一对夫妇从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄[a]元的一年定期，若年利率为[r]保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为_______.

该问题与我们的生活实际相关，比较贴近学生的生活，学生根据已有的经验进行分析：在孩子一周岁生日时存入的[a]元，到18岁时的本利合计为[a1+r17]；

那么，在孩子2周岁生日时存入的[a]元，到18岁时的本利合计为[a1+r16]；

在孩子3周岁生日时存入的[a]元，到18岁时的本利合计为[a1+r15]；

……

在孩子17周岁生日时存入的[a]元，到18岁时的本利合计为[a1+r].

显然，[a1+r]，…，[a1+r15]，[a1+r16]，[a1+r17]是以[a1+r]为首项，[1+r]为公比的等比数列，那么当孩子18岁生日时取回的总钱数为数列的前17项的和，则[S=a1+r17+a1+r16+…+a1+r=a1+r1-1+r171-1+r=ar1+r18-1+r].

这样学生便能将问题抽象为等比数列的前17项和问题，通过分析、探究，学会运用数列的定义、通项公式、前n项和公式解决问题.教师将理论与实践结合起来，有效地培养了学生的抽象思维能力.

教师还可以提出这样的问题：侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为多少？

学生在生活中经常接触到蜘蛛网和正方形的物体，看到该题目便能快速理解题目的意思，根据图形寻找每个正方形四条边的三等分点，求得各个正方形的周长，据此找到规律，寻找到解决问题的方案：

外围第2个正方形的边长为[13m2+23m2=53m]；

外围第3个正方形的边长为

[13×53m2+23×53m2=59m]；

……

外围第n个正方形的边长为[53n-1]m.

所以蜘蛛网的长度[Sn=4m1+53+59+…+53n-9D8Om0zwmnTCFErPzBcSAg==1]

[=4m×1-53n1-53<4m×11-53=3（3+5）m.]

在分析问题的过程中，教师可以先引导学生分析出外围第二个正方形和第三个正方形的边长，将所得的结果与对应的正方形个数n关联起来，据此寻找求外围第n个正方形的边长的规律，建立等比数列模型，从而求得问题的答案.这样学生便能将这个实际问题抽象为等比数列问题，从而培养了学生的抽象思维.

二、引导学生分析表格，培养分析能力

表格是一种直观的数据展示方式.通过分析、研究表格，学生能够将抽象的数列概念与具体的数值联系起来，更清晰地理解数列的性质，探究数列的规律.教师在引导学生分析表格时，要让其仔细观察相邻项，明确它们之间的关系，寻找项数n与各项之间的联系和规律，以提升分析能力.

例如，在教学等比数列的通项公式时，教师可以给出问题：在[an]中，[a1、a2、a3]分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且[a1、a2、a3]中的任何两个数不在下表的同一列，求数列[an]的通项公式.

[ 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 ]

[a1、a2、a3]可能是表格中的任意一个数，要求数列[an]的通项公式，需先分析表格，将[a1、a2、a3]与表格中的数对应起来，确保[a1、a2、a3]中的任何两个数不在表格的同一列即可.有的学生开始动笔计算起来：当[a1=3]时，不合题意；当[a1=2]，[a2=6，a3=18]时，符合题意，此时数列[an]的公比q=3，则数列的通项公式为[an=2⋅3n-1].

学生通过观察表格中的数值变化，将各个数字与[a1、a2、a3]对应起来进行分析，即可找到满足题意的数，通过计算求得数列首项和公比，便可以根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.如此一来，学生不仅锻炼了分析能力，还掌握了等比数列各项之间的规律.

三、开展数列习题训练，培养学生的运算、推理能力

开展数列习题训练，不仅有利于学生学会运用所学的知识来解决问题，夯实基础，还能培养运算、推理能力.在开展习题训练时，教师要有意识地设计一些运算、推理问题，让学生在训练的过程中逐步提升运算、推理能力.

例1.已知数列[an]满足[an+2=qan（q为实数，且q≠1），] [n∈N*，a1=1，a2=2]，且[a2+a3，a3+a4，a4+a5]成等差数列，求q的值和[an]的通项公式.

解：因为[a2+a3，a3+a4，a4+a5]成等差数列，

所以[a3+a4-a2+a3=a4+a5-a3+a4]，

即[a4-a2=a5-a3]，所以[a2（q-1）=a3（q-1）]，

又因为[q≠1]，故[a3=a2=2]，由[a3=a1q]得[q=2]，

当[n=2k-1（n∈N*）]时，[an=a2k-1=2k-1=2n-12]，

当[n=2k（n∈N*）]时，[an=a2k=2k=2n2]，

所以[an]的通项公式为[an=2n-12，n为奇数，2n2，n为偶数.]

在解答本题时，教师要先引导学生仔细分析题意，明确相邻项之间的递推关系，据此建立方程，通过解方程求得数列的公比；然后通过推理、分析找到数列各项之间的规律，求得数列的通项公式.

例2.已知正项等比数列[an]的前n项和为Sn，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{bn}满足bn·bn＋1=an，b1=1.

（1）求an，bn；

（2）求数列[bn]的前n项和Tn.

解：（1）设正项等比数列[an]的公比为q（q>0），

由题意可得a1＋a1q=6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3=30，

解得a1=q=2，可得an=a1qn－1=2n，

由bn·bn＋1=an=2n，b1=1，可得b2=2，

则bn＋1·bn＋2=an＋1=2n＋1，可得[bn+2bn=2]，

可知数列{bn}中奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，

所以[bn=2n-12，n为奇数，2n2，n为偶数.]

（2）当n为偶数时，数列{bn}的前n项和为Tn=（1＋[2+…+2n-22）+（2+4+…+2n2）=1-2n21-2+2（1-2n2）1-2]=3·（[2]）n－3；

当n为奇数时，数列{bn}的前n项和为[Tn=Tn-1+2n-12=3·（2）n-1-3+2n-12=（2）n+3-3.]

综上可得，[Tn=（2）n+3-3，n为奇数，3⋅（2）n-3，n为偶数.]

对于本题，学生需根据等比数列的通项公式、前n项和公式来建立方程组，通过解方程组求得数列的首项、公比，进而求得数列的通项公式.对于第二个问题，学生在解题时，需仔细研究、分析数列{bn}各项之间的规律，分两种情况讨论、推出数列的通项公式，从而求得问题的答案.

教师在教学中，要采用不同的方法，培养学生的推理素养、建模素养、直观想象素养、运算素养等.这样不仅可以培养学生独立解决问题的能力和创新思维，还能教会他们灵活运用数学知识解决问题，从而培养其数学核心素养.