一个重要不等式的几种证法解析

不等式问题具有较强的综合性，对同学们的逻辑推理、运算能力有较高的要求.解答不等式问题，通常需要用到一些重要的不等式，如基本不等式、柯西不等式、权方和不等式等，以及一些常用的不等式结论，这有利于提升解题的效率.其中不等式[ab+c+bc+a+ca+b≥32a，b，c∈R+]，也是解不等式题时常用的结论，下面一起来探讨一下这个重要不等式的证法.

证法1.[ab+c+bc+a=a2+b2+ac+bc（b+c）（c+a）]，

由基本不等式得：

[a2+b2+ac+bc（b+c）（c+a）≥2ab+ac+bc（b+c）（c+a）]

[=a（b+c）+b（c+a）（b+c）（c+a）=bb+c+ac+a]，

同理可得[bc+a+ca+b≥cc+a+ba+b]；

[ca+b+ab+c≥aa+b+cb+c]，

将上述三式相加得：[2ab+c+bc+a+ca+b≥3]，

即[ab+c+bc+a+ca+b≥32]，

当且仅当[a=b=c]时取等号.

证明该不等式主要运用了基本不等式[a+b≥2aba>0，b>0].先将不等式左边的式子变形为[a2+b2+ac+bc（b+c）（c+a）]，即可根据基本不等式的变形式[a2+b2≥2ab]得出[a2+b2+ac+bc（b+c）（c+a）≥2ab+ac+bc（b+c）（c+a）]，从而证明[ab+c+bc+a≥bb+c+ac+a]，同理得出[bc+a+ca+b≥cc+a+ba+b]、[ca+b+ab+c≥aa+b+cb+c]，便可根据不等式的可加性证明结论.对于这种具有对称形式的不等式，通常可以考虑将不等式的分子、分母化为相同形式或结构一致的式子，再通过叠加证明不等式.

证法2.不妨设[a≤b≤c]，由排序不等式得[1b+c≤1c+a≤1a+b]，

所以[ab+c+bc+a≥bb+c+ac+a]，

同理可得[bc+a+ca+b≥cc+a+ba+b]，

[ca+b+ab+c≥aa+b+cb+c]，

将上述三式相加得：[2ab+c+bc+a+ca+b≥3]，

即[ab+c+bc+a+ca+b≥32]，

当且仅当[a=b=c]时取等号.

排序不等式：当[0≤a1≤a2≤a3≤…an，0≤b1≤b2≤b3≤…≤bn]，[j1]，[j2]，…，[jk]是自然数的任何一个排列时，[k=1nakbn-k+1≤i=1， j=1naibj≤k=1nakbk].在证明不等式时灵活运用排序不等式，能有效地提升解题的效率.但需注意排序不等式的顺序，可简记为“反序和[≤]乱序和[≤]正序和”.

证法3. 设[0<a≤b≤c]，

令[x=1b+c，y=1c+a，z=1a+b]，

则[x≤y≤z]，

由排序不等式可得：[xa+yb+zc≥xb+yc+za]，[xa+yb+zc≥xc+ya+zb]，

将两式相加可得[2xa+yb+zc≥xb+c+yc+a+za+b=1b+c⋅b+c+1c+ac+a+1a+b⋅a+b=3]，

所以[xa+yb+zc≥32]，即[ab+c+bc+a+ca+b≥32.]

由于不等式关于a、b、c对称，且不失一般性，于是设[0<a≤b≤c]，令[x=1b+c，y=1c+a，z=1a+b]，即可运用排序不等式证明结论.

证法4.设[a1=a+b，a2=b+c，a3=c+a]，[a1，a2，a3>0]，

则[a=12（a1-a2+a3）]，[b=12（a1+a2-a3），]

[c=12（-a1+a2+a3）]，

可得[ab+c+bc+a+ca+b=a1-a2+a32a2+a1+a2-a32a3+-a1+a2+a32a1=12a1a2+a2a1+a3a2+a2a3+a3a1+a1a3-32]，

由基本不等式得[12a1a2+a2a1+a3a2+a2a3+a3a1+a1a3-32]

[≥122a1a2⋅a2a1+2a3a2⋅a2a3+2a3a1⋅a1a3-32=32]，

当且仅当[a1=a2=a3]，即[a=b=c]时取等号.

所以[ab+c+bc+a+ca+b≥32.]

设[a1=a+b，a2=b+c，a3=c+a]，便可通过换元，将不等式化为[12a1a2+a2a1+a3a2+a2a3+a3a1+a1a3-32].再利用基本不等式[a+b≥2aba>0，b>0]进行求解，即可证明不等式.

证法5.[ab+c+bc+a+ca+b=ab+c+1+bc+a+1+ca+b+1-3]

[=a+b+cb+c+a+b+cc+a+a+b+ca+b-3]

[=（a+b+c）1b+c+1c+a+1a+b-3]

[=12（b+c）+（a+c）+（a+b）1b+c+1c+a+1a+b-3]

[≥12b+c⋅1b+c+a+c⋅1a+c+a+b⋅1a+b2-3]

[=92-3=32]，当且仅当[a=b=c]时取等号，

所以[ab+c+bc+a+ca+b≥32.]

该解法主要运用了柯西不等式[a2+b2x2+y2≥（ax+by）2]，当且仅当[ax=by]时等号成立.将不等式中的分子、分母关联起来，通过常数代换，配凑出柯西不等式，进而运用柯西不等式证明结论.

证法6.令[t=a+b+c]，则[at，bt，ct∈（0，1）]，

则[ab+c=at1-at=at+（at）2+（at）3+…]，

[bc+a=bt1-bt=bt+（bt）2+（bt）3+…]，

[ca+b=ct1-ct=ct+（ct）2+（ct）3+…]，

将上述三式相加得：

[ca+b+ab+c+bc+a=a+b+ct+a2+b2+c2t2+a3+b3+c3t3+…]，

由权方和不等式得：[an+bn+cn=an1n-1+bn1n-1+cn1n-1]

[≥（a+b+c）n3n-1=tn3n-1]，

[则ab+c+bc+a+ca+b≥1+13+132+…=131-13n1-13]

[=321-13n≥32.]

所以[ab+c+bc+a+ca+b≥32]当且仅当[a=b=c]时取等号.

该解法主要运用了泰勒展开式和权方和不等式：[an+bn+cn=an1n-1+bn1n-1+cn1n-1≥（a+b+c）n3n-1=（t）n3n-1（n∈N）.]根据权方和不等式和泰勒展开式得出[ab+c+bc+a+ca+b≥1+13+132+…]，即可利用等比数列的前n项和公式，通过求和证明结论.

例如，设[a，b，c∈R+]且[a+b+c=1]，证明：[a1-a+b1-b+c1-c≥32.]对于此题，只需将1替换成[a+b+c]，即可得到[ab+c+bc+a+ca+b≥32]，从而证明不等式成立.

证明这类具有对称性的多变量分式不等式，要根据其对称性，将分子、分母中的变量替换，利用基本不等式、权方和不等式、排序不等式、柯西不等式证明其中一个式子，从而利用不等式的可加性证明结论.