灵活运用转化思想，求解立体图形中的最短距离问题

立体图形中的最短距离问题是图论中的一类经典算法问题.这类问题通常要求寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.解答这类问题，往往要运用转化思想，将立体图形展开成平面图形，将问题转化为平面几何问题，那么两点间的最短距离就是连接两点的直线段的长度，就可以直接利用平面几何知识来求解.

一、圆柱中的最短距离问题

对于圆柱中的最短距离问题，需将曲面、侧面展开到同一个平面内，运用转化思想，将问题转化为平面内两点间的距离问题来求解.将所求的线段置于圆、三角形、平行四边形中，即可利用勾股定理、正余弦定理、圆的性质、三角形的性质、平行四边形的性质等来解题.

例1.如图1，圆柱的底面半径为[2π]cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为________cm.

解：将圆柱展开得到一个长方形，如图2.将长方形平均分成3个小长方形，由图可知，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B运动的最短路径是：AC→CD→DB.

因为圆柱底面的半径为[2π]cm，

所以长方形的长即圆柱体的底面周长：[2π×2π=4cm]；

又圆柱高为9cm，所以三个小长方形的宽是3cm；

由勾股定理求得：AC=CD=DB=5cm；

所以AC+CD+DB=15cm.

我们很难直接根据图形找到圆柱上A点到B点的最短路径.于是将圆柱展开，运用转化思想，把问题转化为平面几何问题，便可结合图形快速找到A点到B点的最短路径，最后利用勾股定理即可求得问题的答案.

二、长方体中的最短距离问题

求长方体中的最短距离，通常需灵活运用转化思想.先将长方体的各个面沿着棱剪开，并将其平铺到同一个平面内，这样便能将问题转化为平面内两点间的距离问题.然后利用三角形、平行四边形的性质和相关定理来解题.

例2.如图3，长方体纸盒子的长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm.一只老鼠从长方体纸盒子的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .

解：分三种情形.

第一种情况：将长方体的正面和上底面展开放在一个平面内，得到如图4所示的长方形，则这个长方形的长和宽分别是9cm和4cm，则老鼠爬行的最短路径的长是[92+42=97]cm.

第二种情况：将长方体的左侧面和上底面展开放在一个平面内，得到如图5所示的长方形，则这个长方形的长和宽分别是7cm和6cm，则老鼠爬行的最短路径的长是[72+62=85]cm.

第三种情况：将长方体的正面和右侧面展开放在一个平面内，得到如图6所示的长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和3cm，则老鼠爬行的最短路径的长是[32+102=109]cm.

经比较可知，第二种情况中的路径最短.所以老鼠爬行的最短路径的长为[72+62=85]cm.

将长方体展开有三种情形，于是分三种情形分别讨论展开后长方形的长、宽，再利用勾股定理来求线段的长.

总之，解答立体图形中最短距离问题，关键是运用转化思想，将立体图形展开为平面图形，以利用平面几何知识来解题.在解题时，同学们需根据图形的特征和解题的需求来展开图形，以将问题简化.