怎样进行三角恒等变换

三角函数是高中数学中的重要内容.解答三角函数问题都要通过三角恒等变换来化简函数式，所以掌握一些进行三角函数恒等变换的技巧是很有必要的.那么进行三角恒等变换有哪些技巧呢？

一、变换角

当题目中的所求角和已知角不相同时，为了方便计算，我们需要将其统一.首先要建立所求角和已知角之间的联系，使二者为“和”“差”“倍”“半”等关系，再利用诱导公式、倍角公式、辅助角公式等进行恒等变换.在变换角的过程中，要尽量将已知角向所求角靠拢，这样便于明确解题的目标.

例1.已知[cosx+π4=35]，其中[3π4<x<7π4]，求[sin2x+2sin2x1-tanx]的值.

解：因为[3π4<x<7π4]，所以[π<x+π4<2π]，

又[cosx+π4=35]，所以[sinx+π4=-45]，

则[sinx=sinx+π4-π4=sinx+π4cosπ4-cosx+π4sinπ4=-7210]，

于是[cosx=-210]，[tanx=sinxcosx=7]，

故[sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=-2875].

已知角为[x+π4]，所求角是[x]和[2x]，需将角进行变换，使得[x=x+π4-π4]，这样便建立了已知角与所求角之间的联系，直接根据两角差的正弦公式和二倍角公式进行恒等变换即可解题.

例2.设[0°<α<90°]，若[sin75°+2α=-35]，求[sin15°+α⋅sin75°-α]的值.

解：因为[0°<α<90°]，[sin75°+2α=-35<0]，

所以[180°<75°+2α<255°]，所以[cos75°+2α=-45]，

那么[sin15°+α⋅sin75°-α=sin15°+α⋅cos15°+α]

[=12sin30°+2α=12sin75°+2α-45°]

[=12sin75°+2α⋅cos45°-cos75°+2α⋅sin45°]

[=12×-35×22+45×22=220].

[15°]、[75°]均为非特殊角，我们无法求得其值，且题目中涉及了四个不同的角，需通过角的变换将[15°]、[75°]化为特殊角，并将角统一.于是利用诱导公式将[sin75°-α]化为[cos15°+α]，将[30°+2α]拆分为[75°+2α-45°]，再运用两角和的正弦公式和二倍角公式求解.

二、变换函数名

有些三角函数问题中涉及多个函数名，这就给我们解题带来很大的阻碍，需通过变换将函数名统一.一般可以用[tanα=sinαcosα]进行弦切互化，也可以借助同角的三角函数关系式[sin2α+cos2α=1]和诱导公式进行正余弦互化.

例3.若[3sinα-sinβ=10]，[α+β=π2]，求[sinα]和[cos2β]的值.

解：因为[3sinα-sinβ=10]，[α+β=π2]，

所以[3sinα-cosα=10]，

将上式两边平方得[8sin2α-6sinαcosα=9]，

可得[8sin2α-6sinαcosα=8sin2α-6sinαcosαsin2α+cos2α]

[=8tan2α-6tanαtan2α+1=9]，

即[tan2α+6tanα+9=0]，解得[tanα=-3]，

所以[sinα=31010]，[cosα=-1010]，

则[cos2β=cos2π2-α=-cos2α=sin2α-cos2α=45].

已知关系式中含有正弦函数式、余弦函数式，于是先将其两边平方，再利用[sin2α+cos2α=1]化简，接着根据[tanα=sinαcosα]将函数名化为正切，如此便能化异为同，顺利求得问题的答案.

通过分析可以发现，进行三角恒等变换，需重点关注题目中涉及的角、函数名，明晰其中的差异和共同之处，然后选取合适的三角函数公式来进行恒等变换.