巧用二项式定理解答两类问题

二项式定理为：[（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cinan-ibi+…+Cnnbn].其中等式右边的式子为二项展开式，[Cin（i=0，1，2，…，n）]为二项式的系数，表示从[n]个元素中选出[i]个元素的组合数，并且[Cin=n！i！（n-i）！].二项式的通项为[Cinan-ibi]，是二项展开式的第[i+1]项.利用二项式定理，不仅可以把二项式[（a+b）n]展开成一个多项式，也可以把展开式合并成[（a+b）n].那么如何运用二项式定理解题呢？下面结合实例进行讨论.

一、求二项式的系数

二项式定理中的二项式、二项展开式的通项都是用字母表示的，因此为了使问题得以简化，我们可以给字母赋予一些特殊值，即可通过简单的运算求得二项式的系数、常数项、项数等.在求二项式的系数和项的系数时，要注意项的符号和项数.

例1.已知[x+1ax9]的展开式中含[x3]项的系数为[-212]，则实数[a]的值为______.

解：由二项式定理可得二项式的展开式的通项为[Tr+1=Cr9x9-r1axr=Cr91arx9-2r]，

令[9-2r=3]，解得[r=3]，

所以[T4=C391a3x3=84a3x3]，

则[84a3=-212]，解得[a=-2].

我们需先根据二项式定理求得[x+1ax9]的展开式的通项[Tr+1=Cr9x9-r1axr]；然后令x的系数为3，据此求得r的值，就可以确定[-212]是第四项的系数；再列出第四项，即可求得a的值.

例2.已知[（1-3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9]，求[a0+a1+a2+…+a9].

解：利用二项式定理将[（1-3x）9]展开可得：

[（1-3x）9=C09+C19（-3x）+C29（-3x）2+…+Cn9（-3x）9]，

而[（1-3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9].

那么[a0，a2，a4，a6，a8]为正数，[a1，a3，a5，a7，a9]为负数，

所以[a0+a1+a2+…+a9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9]，

令[x=-1]，则[a0+a1+a2+…+a9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=[1-3×（-1）]9=49].

根据二项式定理将[（1-3x）9]展开，即可判断出[（1-3x）9]的展开式中各项系数的符号，便可将目标式中的绝对值符号去掉，将问题转化为求[a0-a1+a2-a3+…+a8-a9].再令[x=-1]，就能顺利求得问题的答案.

二、求最大系数

由二项式定理可知，二项展开式的系数分别为[C0n，C1n，…，Cnn].如果二项式的幂指数为偶数，则中间项的系数[Cn2n]最大；若二项式的幂指数为奇数，中间两项的系数[Cn-12n]和[Cn+12n]最大.而二项式的展开式中[x]项的系数是[Cin]与常数的乘积，要求二项式的展开式中[x]项的最大系数，需先根据二项式定理求得二项式的展开式的通项，然后求系数最大的项.

例3.若[（12+2x）n]展开式的第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数.

解：由二项式定理可知展开式的第五项、第六项、第七项的二项式系数分别为[C4n、C5n、C6n]，所以[C4n+C6n=2C5n]，即[n2-21n+98=0]，解得[n=7]或[n=14]，

当[n=7]时，展开式中二项式系数最大的项是[T4]和[T5]，则[T4]的系数为[C37⋅（12）4⋅23=352]，[T5]的系数为[C47⋅（12）3⋅24=70].

当[n=14]时，展开式中二项式系数最大的项是[T8]，则[T8]的系数为[C714⋅（12）7⋅27=3432].

解答本题，需明确二项式系数是[Cin].要求展开式中二项式系数最大的项，需确定二项式的展开式的中间项，计算出[n]的值，即可找到二项式系数最大的项.

二项式及其展开式问题虽然看似较为复杂，但我们只要灵活运用二项式定理将其展开，根据二项展开式的通项寻找到二项式的展开式的系数及其最大值，就能轻松获解.