求解含参不等式恒成立问题的几种途径

含参不等式恒成立问题常与函数、不等式、导数等知识点相结合.此类题目具有很强的综合性，对同学们的综合分析和运算能力有较高的要求.很多同学在求解此类问题时常常不知道如何处理参数和变元，导致解题失败.对此，笔者对求解此类问题的路径进行了归纳，下面作具体的介绍.

一、分离参变量

若含参不等式中的参数和变量容易被分离出来，则可考虑运用分离参数法来解题.首先将不等式进行适当的变形，使参数和变量分别在不等号的两侧；然后将不含有参数的式子构造成函数，利用函数的性质、极值的定义求得函数的最值，使最值恒大于或小于参数，即可解题.

例1.已知函数[fx=lnx-ax]，若[fx<x2]在[1，+∞]上恒成立，则[a]的取值范围是_________.

解：由[fx<x2]可得[lnx-ax<x2⇔xlnx-a<x3⇔a>xlnx-x3]，其中[x∈1，+∞]，

所以要使不等式恒成立，需使[a>xlnx-x3max]，

令[gx=xlnx-x3]，可得[g（x）=1+lnx-3x2]，[g（1）=-2]，

而[gx=1x-6x=1-6x2x<0]，

所以[g（x）]在[1，+∞]上单调递减，则[g（x）<g（1）<0]，

所以[g（x）]在[1，+∞]上单调递减，则[gx<g1=-1]，

则[a≥-1].

我们首先将不等式进行变形，使其中的变量和参数分离，得出[a>xlnx-x3]；然后构造函数[gx=xlnx-x3]，并对其进行二次求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数[g（x）]在[1，+∞]上的单调性，进而根据极值的定义求得函数[g（x）]的最大值，使得[a>xlnx-x3max]，即可解题.

二、变更主元

有些题目中告知了主元或参数的取值范围，此时可将参数视为主元，通过变更主元，将原不等式转化为关于参数的新不等式，从而转换解题的角度，顺利求得问题的答案.

例2.已知对于任意的[m∈[-2，2]]，不等式[2x-1>m（x2-1）]恒成立，求[x]的取值范围.

解：将[2x-1>m（x2-1）]变形可得[-（x2-1）m+2x-1>0]，

设[f（m）=-（x2-1）m+2x-1，m∈[-2，2]]，

因为函数[f（m）]是关于[m]的一次函数，

要使不等式[f（m）>0]恒成立，需要满足[f（-2）>0，f（2）>0，]

即[2（x2-1）+2x-1>0，-2（x2-1）+2x-1>0，]

解得[7-12<x<3+12]，

则[x]的取值范围为[（7-12，3+12）].

先将不等式变形，然后构造关于m的一次函数[f（m）=-（x2-1）m+2x-1，m∈[-2，2]]，即可将原不等式转化为[f（m）>0]对于任意[m∈[-2，2]]恒成立；再根据一次函数的单调性来建立关于x的不等式组，即可通过解不等式组获解.

三、数形结合

数形结合法是解答数学问题的重要方法.对于含参不等式恒成立问题，先将不等式变形；然后构造函数，将不等式化为[f（x）>0]、[f（x）<0]、[f（x）>g（x）]、[f（x）<g（x）]的形式；再在平面直角坐标系中画出函数的图象，通过讨论函数图象与x轴，以及两个函数图象之间的位置关系确定临界值，建立使不等式恒成立的关系式即可.

例3.当[x∈（1，2）]时，不等式[（x-1）2<logax]，a>1恒成立，求[a]的取值范围.

解：设[y1=（x-1）2，y2=logax，x∈（1，2）]，

则[y1=（x-1）2]的图象是抛物线的一部分，[y2=logax]的图象是一条递增的曲线，如图所示.

由图可知，要使[（x-1）2<logax]恒成立，需使[y1=（x-1）2]的图象始终在函数[y2=logax]图象的下方.

当[a>1]且[x=2]时，函数[y2=logax]的值始终大于函数[y1=（x-1）2]的值，所以[loga2≥1]，即[a≤2]，由此得到[a]的取值范围为[（1，2]].

根据不等式的特征构造函数[y1=（x-1）2，y2=logax，] [x∈（1，2）]，即可将问题转化为两个函数图象的位置关系问题.再结合函数的图象讨论两个函数图象的位置关系，找出临界情形：[x=2]，据此建立代数关系式，即可解题.

四、分类讨论

由于含参不等式问题中涉及了参数，而参数的取值往往是不确定的，所以通常要运用分类讨论法对参数进行讨论.在运用分类讨论法解题时，首先要确定参数的取值对不等式的影响，以确定分类的标准；然后分成几个类别，逐层逐级进行讨论；最后取并集，即可求得参数的取值范围.

例4.对于任意的[x∈[-2，2]]，不等式[x2+ax+3-a≥0]恒成立，求[a]的取值范围.

解：设[f（x）=x2+ax+3-a=（x+a2）2-a24-a+3]，

令[f（x）]在[x∈[-2，2]]上的最小值为[g（a）].

①当[-a2<-2]，即[a>4]时，[g（a）=f（-2）=7-3a]，

要使[g（a）≥0]，需使[7-3a≥0]，即[a≤73]，显然[a]不存在；

②当[-2≤-a2≤2]，即[-4≤a≤4]时，[g（a）=f（-a2）=-a24-a+3]，

由[g（a）≥0]得[-6≤a≤2]，所以[-4≤a≤2]；

③当[-a2>2]，即[a<-4]时，[g（a）=f（2）=7+a]，

由[g（a）≥0]可得[a≥-7]，所以[-7≤a<-4].

综上所述：[a]的取值范围为[[-7，2]].

将函数式配方可得[f（x）=（x+a2）2-a24-a+3].由二次函数的性质可知，需对函数的定义域与对称轴的位置进行讨论，于是分对称轴[x=-a2]在定义域[[-2，2]]的左侧、中间、右侧，即[-a2<-2]、[-2≤-a2≤2]、[-a2>2]三种情况讨论函数的单调性，进而求得函数的最值.

五、采用先猜后证法

对于较为复杂的含参不等式恒成立问题，我们可以采用先猜后证法，通过尝试代入特殊值的方式，或根据解题经验猜想出问题的答案；然后利用所学的知识对其进行证明，从而使问题得解.在证明结论的过程中，可以利用反证法、放缩法、分析法.F/9MUxhOlK/oYPzn2uZwcA==

例5.已知函数[f（x）=ex（lnx-a）]，若对于任意的实数[x∈[1，+∞）]， [f（x）≥-1]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解：由于不等式[f（x）≥-1]在[[1，+∞）]内恒成立，

所以令[x=1]，得[f（1）≥-1]，即[-aex≥-1]，解得[a≤1e]，

则只需要证明当[a≤1e]时，不等式[f（x）≥-1]在[[1，+∞）]内恒成立，

即证：当[a≤1e]时， [f（x）=ex（lnx-a）≥ex（lnx-1e）≥1].

令[g（x）=ex（lnx-1e）]，

对其求导得[g（x）=ex（lnx+1x-1e）].

令[h（x）=lnx+1x-1e]，

对其求导得[h（x）=1x-1x2=x-1x2]，

所以在[（0，1）]上，[h（x）<0]，则[h（x）]单调递减；在[（1，+∞）]上，[h（x）>0]，则[h（x）]单调递增，

所以[h（x）min=h（1）=1-1e>0].

所以[g（x）>0]，则[g（x）]单调递增，

可得[g（x）min=g（1）=-1].

所以原不等式恒成立，即[a]的取值范围是[（-∞，1e].]

先将[x=1]代入不等式中，即可得出[a≤1e]，再通过构造函数，利用函数的性质和极值对其进行证明，即可解题.先猜后证法相对来说较为简单，解题的关键在于找到答案并且选用合适的方法来进行证明.

可见，含参不等式恒成立问题的命题形式多种多样，解法众多.同学们在解题时，要抓住不等式的特征，将其进行合理的变形、构造、转化，灵活运用函数、方程、导数、不等式等知识求得问题的答案.