巧构函数，妙解导数不等式题

在解答导数不等式问题时，往往需要通过构造新函数，将问题转化为新函数的单调性问题来求解.这就要求同学们具备扎实的数学功底，有敏锐的洞察力，能灵活运用求导公式和求导运算法则，才能构造出合适的函数模型.那么如何巧妙地构造函数模型呢？下面结合几个例题来探讨.

一、含有[f（x）±xf（x）]的不等式

对于含有[fx+xf'x]的不等式，可以根据求导运算法则[fx∙gx'=fxgx+fxg'x]构造出函数[Fx=xf（x）]；对于含有[fx-xfx]的不等式，可以根据求导运算法则[fxgx′=fxgx-fxg'xgx2]构造出函数[Fx=fxx].构造出函数后，就可以根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性.一般地，若导函数大于0，则原函数是单调递增的；若导函数小于0，则原函数是单调递减的.

[例1.已知f（x）]是定义在[R]上的偶函数，当[x<0]时，[fx+xfx<0]，且[f-4=0]，求不等式[xfx>0]的解集.

解：设函数[Fx=xf（x）]，对其求导得：[Fx=fx+xfx]，由于当[x<0]时，[fx+xfx<0]，则[Fx<0]，所以函数[F（x）]在[（-∞， 0）]上单调递减，由于函数[f（x）]是定义在[R]上的偶函数，所以[F（x）]是定义在R上的奇函数，于是[F（x）]在[（0，+∞）]上也是单调递减的，由于[f-4=0]，则[F-4=-4f（-4）=0]，则[F-4=F4=0]，而[F0=0]，所以[xfx>0]的解集为：[（-∞，-4）∪（0，4）].

该不等式中含有[fx+xfx]，于是构造新函数[Fx=xf（x）].然后判断出[Fx]的单调性，利用偶函数的性质，并根据函数的零点确定函数[Fx]在定义奇域内的符号，从而求得不等式的解集.

二、含有[f（x）±f（x）]的不等式

由于[ex]的导函数是其本身，所以对于含有[fx+f（x）]的不等式，可以根据求导运算法则[fx∙gx'=fxgx+fxg'x]构造函数[Fx=exf（x）]；对于含有[fx-fx]的不等式，可以根据求导运算法则[fxgx′=fxgx-fxg'xgx2]构造函数[Fx=fxex].在构造出函数后，便可通过研究导函数的符号来判断出函数的单调性，以利用函数的单调性来解题.

例2.设函数的定义域为[R]，若[fx+fx>-e-xfx]，[f0=1]，求不等式[fx>2ex+1]的解集.

解：令[gx=1+exf（x）]，则[gx=exfx+1+exfx]，因为[fx+fx>-e-xfx]，则[gx>0]，所以[g（x）]单调递增，由[fx>2ex+1]得[1+exfx>2]，又[g0=2f0=2]，即[gx>g0]，解得[x>0].

该不等式中含有指数函数，于是构造含有指数函数的新函数[gx=1+exf（x）].然后对其求导可得[exfx+1+exfx>0]，据此即可判断出函数[g（x）]的单调性，就能直接根据函数的单调性来解不等式.

三、含有[sinxfx±cosxfx，cosxf（x）±sinxf（x）]的不等式

若遇到形如[sinxfx+cosxfx>0（<0）]、[cosxfx-sinxfx>0（<0）]的不等式，可以根据求导运算法则构造函数[gx=sinxf（x）]、[gx=cosxf（x）]；若遇到形如[sinxfx-cosxfx>0（<0）]、[cosxfx+sinxfx>0（<0）]的不等式，可以根据求导运算法则构造函数[gx=fxsinx]、 [gx=fxcosx].

例3.对于任意的[x∈（-π2 ， π2）]，[cosxfx-sinxfx>0]成立，试证明：[2fπ3>f（π4）].

证明：设函数[gx=fxcosx]，

则[gx=cosxfx-sinxfxcos2x]，

由于[cosxfx-sinxfx>0]，所以[gx>0]，

所以函数[g（x）]在[（-π2，π2）]上单调递增，

又[gπ3=2f（π3）]，[gπ4=2f（π4）]，

由[gπ3>gπ4]可得：[2fπ3>f（π4）].

这一题中出现了[cosxfx-sinxfx>0]，可以构造函数[gx=fxcosx].然后判断出函数[g（x）]的单调性，即可根据函数的单调性证明不等式成立.

总之，在构造函数时，要注意：（1）仔细观察不等式的结构特征；（2）将不等式进行合理的配凑，使不等式的形式与求导运算法则、求导公式的一致；（3）灵活运用导函数与函数单调性之间的关系寻找解题的切入口.