由一道与圆有关的直线斜率题引发的思考

与圆有关的直线斜率问题的难度一般较大，且运算量较大.这类问题侧重于考查圆的方程、圆的性质、直线的方程、直线的斜率公式等的应用，以及直线与圆的位置关系.下面结合一道题探讨一下与圆有关的直线斜率问题的解法.

例题：如图1，双曲线[C：y23-x2=1]的下焦点为[F]，过[F]的直线[l]与[C]交于A、B两点，若过A、B和点[M0，7]的圆的圆心在[x]轴上，则直线[l]的斜率为（ ）.

A. [±102] B. [±2] C. [±1] D. [±32]

一、同构法

同构法是通过构造结构相同或相似的代数式来解题的方法.与圆有关的直线斜率问题中有些直线、点的位置相同，此时可以运用同构法，构造出同构式，将这些位置相同的点、直线用同构式表示出来，即可通过代换、变形、消元求得直线的斜率、方程.

解：设[Ax1，y1，Bx2，y2]，圆心为[Na，0]，连接MN，NA，NB.

显然直线[l]的斜率存在，且不为[0，±3]，

由双曲线[C：y23-x2=1]的方程可得[F0，-2]，

所以设直线[l：y=kx-2]，

将其代入[y23-x2=1]中，整理得[k2-3x2-4kx+1=0]，

所以[x1，x2]是方程[k2-3x2-4kx+1=0]①的两个根.

而圆的半径[R2=a2+7=x1-a2+y12，y12=3+3x12]，

所以[2x12-ax1-2=0]，

同理可得[2x22-ax2-2=0]，

所以[x1，x2]是方程[2x2-ax-2=0]②的两个根，

由①②可得[k2-32=4ka=1-2]，

解得[k=±2]，故本题选B项.

因为A、B在双曲线上，且在圆上，所以根据双曲线的方程、圆的半径来建立方程，构造出结构相同的两个方程[2x2-ax-2=0]和[k2-3x2-4kx+1=0]，就此建立等价关系式，即可通过解方程求得k的值.

二、利用圆的相交弦定理

若直线与圆相交，通常可以运用圆的相交弦定理：设[AB]和[CD]是圆的两弦，若[AB⋂CD=P]，则[PA⋅PB=PC⋅PD]来解题.运用相交弦定理，可以快速建立起圆的弦之间的关系，从而求得弦的长度及其关系，就能根据弦长公式建立关于直线斜率的关系式，从而求得直线的斜率.

解：如图2所示，设[Ax1，y1，Bx2，y2]，圆心为[Na，0]，根据题意可知直线[l]的斜率存在，

由双曲线[C：y23-x2=1]的方程可得[F0，-2]，

所以设直线[l：y=kx-2]，则[k∈0，3].

将直线的方程代入[y23-x2=1]中，整理得：

[k2-3x2-4kx+1=0]，则[x1x2=1k2-3].

设点[M]关于[x]轴对称的点为[M]，则[M]也在[⊙N]上.

由圆的相交弦定理可知[AF⋅BF=MF⋅MF]，

所以[1+k2x1⋅1+k2x2=7+2×7-2]，

故[k2=2]，从而[k=±2]，故选B.

作点[M]关于[x]轴对称的点为[M]，即可根据圆的对称性得出[M]也在[⊙N]上，这样就构造出了圆的两条相交弦.然后利用圆的相交弦定理建立等式[AF⋅BF=MF⋅MF]，即可得到关于直线斜率[k]的方程.

三、利用参数方程

我们知道，若直线过定点[P（x0，y0）]，且倾斜角为[α]，则直线的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，t为参数]；若圆的圆心为（a，b），半径为r，则圆的参数方程为[x=a+rcosα，y=b+rsinα，] [α为参数].在解答与圆有关的直线斜率问题时，可以根据圆的参数方程、直线的参数方程来设出相关的点，这样便可以根据两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的参数方程中参数[t]的绝对值[t]的几何意义快速求得圆中的弦长、点与直线之间的距离，据此建立关于直线斜率的关系式.

解：由双曲线[C：y23-x2=1]的方程可得[F0，-2]，

因为过[A，B，M]的圆的圆心在[x]轴上，所以[M]关于原点的对称点[N（0，-7）]也在圆上.

由圆的相交弦定理可得：

YebFQuh4P3FciVEXAtEjVdjPvMNciMYAIQPFQxAbp3M=[FA⋅FB=FM⋅FN=（7+2）×（7-2）=3].

设直线[l]的参数方程为[x=tcosα，y=-2+tsinα，（t为参数，α≠π3）]

设[A，B对应的参数为t1，t2]，

将直线[l]的参数方程代入[y23-x2=1]，得：

[（4sin2α-3）t2-4tsinα+1=0]，

则[Δ=（4sinα）2-4×（4sin2α-3）×1=12>0].

因为A、B两点在点F的两侧，所以[t1⋅t2=14sin2α-3<0].

则[FA⋅FB=t1⋅t2=-t1⋅t2=-14sin2α-3=3]，

解得[sin2α=23]，所以[tan2α=2]，

所以直线[l]的斜率为[±2].则本题选B.

由圆的相交弦定理可知[FA⋅FB=FM⋅FN=3]，其中焦点[F]是定点，而[A，B]是两动点，这就涉及了动点到定点的距离，故考虑用直线的参数方程设出直线[l]的方程，根据参数方程中[t]的绝对值[t]的几何意义（直线上的动点到定点[P（x0，y0）]的距离来求解.

四、借助圆系方程

我们知道，过两条直线[f1=0，f2=0]与二次曲线[f（x，y）=0]的4个交点的二次曲线系方程为[f（x，y）+λf1f2=0]（[λ]为参数），且当[x2]与[y2]的系数相同，且[xy]的系数为0时，该方程表示圆.对于直线与二次曲线相交的问题，通常可以首先设出圆系方程；然后根据题意将相关的点代入圆系方程中，据此建立关于直线的斜率的方程，即可通过解方程求得直线的斜率.

解：由题意知直线[l]的斜率存在且不等于[±3]，设直线[l]的方程为[y=kx-2]，

将[y=kx-2]代入[y23-x2=1]中得：

[x2-4kk2-3x+1k2-3=0，y2-12k2-3y-3k2+12k2-3=0].

设过[A，B，M]三点的圆系方程为（[x2-4kk2-3x+1k2-3+y2-12k2-3y-3k2+12k2-3+λ（y-kx+2）=0].

因为点[M（0，7）]在圆上，圆心在[x]轴上，

[所以0+1k2-3+7-12k2-3×7-3k2+12k2-3+λ（7-0+2）=0，-12k2-3+λ=0，]

解得[k2=2，即k=±2].则本题选B.

本题中直线[l]与圆相交，且圆过[A、B、M]三点，于是设出直线与圆的圆系方程，然后根据“点[M（0，7）]在圆上且圆心在[x]轴上”建立方程组，即可通过解方程组求出斜率[k]的值.

可见，解答与圆有关的直线斜率问题的方法很多，无论运用哪种方法解题，同学们都要注意：（1）灵活运用圆的性质、方程、定理，以及直线的方程、斜率等知识解题；（2）借助图形来判断、分析、研究直线与双曲线的位置关系；（3）利用方程思想来建立方程（组），通过研究方程的解、判别式、根与系数的关系来解题.