怎样求解抽象函数问题

抽象函数问题的主要特点是函数没有具体的解析式，其解析式通常用[f（x）]代替.常见的抽象函数问题有：求抽象函数的值、求抽象函数的定义域、判断函数的奇偶性、求函数的单调区间等.下面结合实例，谈一谈如何求解三类抽象函数问题.

一、求抽象函数的值

由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，要先根据题意和已知关系式判断出抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，以通过整体代换，求得某点的函数值.

例1.已知偶函数[f（x）]满足[f（x+2）=3-6f（x）-f2（x）]，求[f（2023）]的值.

解：因为[f（x+2）=3-6f（x）-f2（x）]，

所以[3-f（x+2）=6f（x）-f2（x）]，

将其两边平方得：[3-f（x+2）2=6f（x）-f2（x）2]，

整理得： [f2（x+2）-6f（x+2）+f2（x）-6f（x）+9=0]，

令[g（x）=f2（x）-6f（x）]，

则上式可化为：[g（x+2）+g（x）+9=0]，

即[g（x+2）=-g（x）-9]，

则[g（x+4）=-g（x+2）-9=--g（x）-9-9=g（x）]，

故[g（x）]的周期为[4]；

即[g（x）=f2（x）-6f（x）]的周期为[4]，

所以[g（2023）=g（4×505+3）=g（3）]；

又[f（x）]为偶函数，即[g（x）=f2（x）-6f（x）]也为偶函数；

又[g（x+2）=-g（x）-9]，则[g（1）=-g（-1）-9]，

而[g（1）=-g（-1）]，则[g（1）=-92]，

故[g（3）=-g（1）-9=-92]，

所以[f2（2023）-6f（2023）=-92]，

解得[f（2023）=3±322]；

又[f（x+2）=3-6f（x）-f2（x）≤3]，

即[f（2023）≤3]，故[f（2023）=3-322].

我们要先将已知关系式平方，以去掉根号；再令[g（x）=f2（x）-6f（x）]，将已知关系式化为[g（x+2）=-g（x）-9]；然后通过代换求得[g（x）]的周期，判断出[g（x）]的奇偶性，即可根据[g（x）]的周期性和奇偶性建立关系式，通过整体代换求得[f（2023）]的值.

二、抽象函数的定义域问题

函数的定义域、自变量、对应法则之间的联系紧密.在求抽象函数的定义域时，须先明确函数的对应法则和自变量；然后根据函数自变量之间的关系式进行赋值，通过等量代换求得问题的答案.

例2.已知函数[f（x+1）]的定义域为[（-2，2）]，则函数[g（x）=f（x）x]的定义域为________.

解：因为函数[f（x+1）]的定义域为[（-2，2）]，

所以[-2<x<2]，则[-1<x+1<3]，

即[f（x）]的定义域为[（-1，3）]，

故[g（x）=f（x）x]的定义域必须同时满足：

[x≥0，x≠0，-1<x<3，]解得[0<x<3].

所以函数[g（x）=f（x）x]的定义域为[（0，3）].

解答本题，关键需明确[f（x+1）]中[x+1]的取值范围、[f（x）]中x的取值范围是等价的，据此建立关系式可求得[f（x）]中的x的取值范围.而要使[g（x）=f（x）x]有意义，需使x在函数[f（x）]的定义域内，分母不为0，且根号下的式子为非负数，据此建立关于x的不等式组，从而求得函数[g（x）]的定义域.

三、抽象函数的奇偶性问题

求解有关抽象函数的奇偶性问题，需灵活运用函数奇偶性的定义：若函数在定义域内满足[f（-x）=-f（x）]，则函数[f（x）]为奇函数；若[f（x）=f（-x）]，则函数[f（x）]为偶函数.由于函数没有具体的解析式，所以需根据函数的周期性、对称性进行赋值，通过等量代换求得问题的答案.

例3.若定义域在[R]上的函数[f（x）]满足：对于任意的[x、y∈R]， [f（x+y）=f（x）+f（y）+1]恒成立，则[g（x）=f（x）+1]为（ ）.

[A.]奇函数 [B.]偶函数

[C.]非奇非偶函数 [D.]无法判断

解法1.因为[f（x+y）=f（x）+f（y）+1]，

所以[f（x+y）+1=f（x）+1+f（y）+1]，

由[g（x）=f（x）+1]得[g（x+y）=g（x）+g（y）]，

令[x=y=0]，即[g（0）=g（0）+g（0）]，即[g（0）=0]，

令[y=-x]，得[g（0）=g（x）+g（-x）=0]，

即[g（x）=-g（-x）]，

故[g（x）=f（x）+1]为奇函数，所以[A]选项正确.

我们先根据题目中的条件，将[f（x）+1]视作整体，对式子进行化简，得到[g（x+y）=g（x）+g（y）]；再令[y=-x]，[x=y=0]得到[g（x）=-g（-x）]，便可根据奇函数的定义判定[g（x）]为奇函数.

解法2.因为[f（x+y）=f（x）+f（y）+1]，

令[x=y=0]，得[f（0）=f（0）+f（0）+1]，即[f（0）=-1]，

故[g（0）=f（0）+1=0]，即[g（0）=0]；

令[x=1，y=-1]，则[f（0）=f（1）+f（-1）+1=-1]，

即[f（1）=-f（-1）-2]，则[f（-1）=-f（1）-2].

令[x=1]，由[g（x）=f（x）+1]得：

[g（1）=f（1）+1=-f（-1）-1]，[g（-1）=f（-1）+1]，

则[g（1）+g（-1）=0]，即[g（-1）=-g（-1）]，

故[g（x）=f（x）+1]为奇函数，所以[A]选项正确.

本题为选择题，于是直接采用特殊值法，给[x、y]赋予特殊值，令[x=y=0]、[x=1、y=-1]，[x=1]，进而得出[g（-1）=-g（-1）]，从而判定该函数为奇函数.

总之，解答抽象函数问题，需牢牢把握已知关系式，对其进行合理的赋值，灵活运用函数的性质和定义域来建立关系式，通过等量代换顺利求得问题的答案.