求解含参不等式恒成立问题的两个“妙招”

含参不等式恒成立问题的命题形式多变，且涉及的知识点众多，通常侧重于考查不等式的性质，函数的图象和性质，导数与函数单调性之间的关系、极值、方程的判别式等.接下来，通过几个例题介绍一下解答含参不等式恒成立问题的两个“妙招”.

一、分离参数

若含参不等式中的参数容易被分离出来，就可以采用分离参数法来解题.首先将含参不等式中的参数与变量进行分离，使其分别置于不等式的两侧；然后将含有变量的式子看作一个函数，确定该函数的值域，则可以求得参数的取值范围.一般地，若要使[f（x）≤a]恒成立，则需使[f（x）max≤a]；若要使[f（x）≥a]恒成立，则需使[f（x）min≥a].

例1.已知[x>0]时，不等式[x2-mx+4>0]恒成立，求实数m的取值范围.

解：将[x2-mx+4>0]变形，可得[m<x+4x]，

设[fx=x+4x，x>0]，

而[x+4x≥2x∙4x=4]，当且仅当[x=4x]，即[x=2]时等号成立，

所以[fx=x+4x]的最小值是4，因此m的取值范围是[（-∞，4）].

不等式中只含有参数m和变量x，于是采用分离参数法解题.先将参数m与变量x进行分离，使得[m<x+4x]，并构造函数[fx=x+4x]，将问题转化为求[fx]的最小值；再利用基本不等式求出函数的最值，就可以得到参数m的取值范围.

例2.设函数[f（x）=x2-1]，对任意的[x∈32，+∞]，[fxm-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）]恒成立，则实数[m]的取值范围是_______.

解：先将不等式变形可得：[1m2-4m2≤x2-2x-3x2].

由于[x∈32，+∞]，所以[1x∈0，23]，

设[gx=x2-2x-3x2=-31x2-2⋅1x+1=-31x+132+43]，[1x∈0，23]，

可知当[1x∈0，23]时，[gx]单调递减，

所以当[1x=23]时，[gx]取得最小值[g23=-53]，

所以要使不等式恒成立，需使[1m2-4m2≤-53]，

可得：[m∈-∞，-32⋃32，+∞].

解答本题主要采用了分离参数法.首先将不等式中的参数与变量分离，将不等式变形为[1m2-4m2≤x2-2x-3x2]；再构造函数[gx=x2-2x-3x2]，即可将问题转化为函数最值问题；接着根据二次函数的单调性求得[gx]的最小值，即可建立关于参数m的不等式.

二、数形结合

有些含参不等式中的式子为简单基本函数式，此时可以将不等式进行适当的变形，将不等式化为[gx<f（x）]、[gx>f（x）]的形式，然后画出两个函数的图象，根据两个函数图象之间的位置关系找出临界情形，据此建立使不等式恒成立的关系式，即可求得问题的答案.

例3.已知对任意[x∈（1，2）]，不等式[（x-1）2<logax]恒成立，试求参数a的取值范围.

解：设[fx=（x-1）2， gx=logax]，

当[0<a<1]时，[ gx<0<f（x）]，不满足题意.

当[a>1]时，在平面直角坐标系中画出[f（x）]和[g（x）]的图象，如图所示.

当[x∈（1，2）]时， [fx=（x-1）2]

[∈（0，1）]；当[x=2]时， [f2=1].

要使不等式恒成立，需使函数[f（x）]的图象要始终处于函数[g（x）]的下方，则[f2=1≤g2=loga2]，

解得：[1<a≤2]，所以a的取值范围为[（1，2].]

运用数形结合法求解含参不等式恒成立问题，需要注意：（1）合理构造函数；（2）确保画图的规范性和准确性；（3）关注临界情形，尤其是交点、切点、端点.

可见，分离参数法和数形结合法都是解答含参不等式恒成立问题的重要方法.两种方法都有其不同的优势和适用情形，同学们在解题时，需根据不等式的结构特征选择合适的方法进行求解.