视场角限制下的攻击时间和角度三维矢量制导律设计

摘 要：为了提高导弹精确打击目标的能力， 控制攻击时间和攻击角度三维制导问题在实际应用中具有重要的意义。 针对这一问题， 本文基于三维矢量制导模型提出了一种视场角约束下的攻击时间和攻击角度控制律。 首先， 通过将平面矢量制导律扩展至三维空间， 提出了一种三维矢量攻击角度约束制导律； 其次， 在上述制导指令的拦截分量中引入剩余时间偏置项， 设计了一种在视场角约束下的三维矢量制导律， 并进行了稳定性分析。 保证导弹能在视场角约束的条件下， 以期望的攻击时间和角度击中目标， 并且误差均小于0.01； 最后， 通过数值模拟验证了所设计制导律的正确性和有效性。

关键词：导弹； 矢量制导律； 视场角限制； 攻击时间约束； 攻击角度约束； 耦合非线性

中图分类号：TJ760； V249.1

文献标识码： A

文章编号：1673-5048（2024）04-0049-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0228

0 引 言

随着现代防御技术的快速发展， 传统比例导引律的有效性有所降低。 面对这一挑战， 越来越多的约束条件被引入到导引律的设计当中， 例如约束攻击角度和攻击时间。 攻击角度约束可以通过攻击弱点来增加对目标的破坏力， 而攻击时间约束可以通过齐射攻击来提高对反导系统的生存能力。 近年来， 随着捷联式导引头的广泛应用， 由于导引头探测视野有限， 在制导过程中还需要考虑到视场角的约束问题。 在过去几十年里， 针对多约束情况下的末端制导律展开了广泛的研究活动。

在这项研究的背景下， 文献中提出的解决攻击方向控制问题的方法可以分为两个类别， 即二维和三维方法。 二维方法的目标是实现特定的攻击角度， 而三维方法的目标是在空间中获得特定的攻击矢量。 攻击角约束制导律IACG（Impact Angle Constrained Guidance）的开创性工作可以追溯到文献［1］为再入飞行器设计了一种角度控制导引律。 在文献［2］中， 为了满足攻击角度的约束， 在传统比例导引的基础上， 设计了一种带有偏置项的制导方法。 文献［3-4］通过解决以控制能量的积分除以时间剩余的幂函数为代价函数的最优控制问题， 设计了时间加权的最优角度控制方法。 文献［5-6］通过将期望值与估计值之间的攻击角误差的反馈指令添加到比例导引指令中， 提出了两种不同的角度控制方法， 其形式为偏置比例导引。 孙胜等［7］在考虑驾驶仪动态特性的前提下采用终端滑模控制提出了一种约束攻击角度的方法。 在文献［8-9］中， 通过利用最优误差动态开发了一个通用的角度控制方法， 并针对模型进行非线性扩展， 以攻击机动目标。 文献［10-11］提出了在视场角约束下的带有制导律切换的偏置比例导引法， 用以攻击具有攻击角和目标加速度约束的机动目标。 鲁娇娇等［12］提出了一种考虑导引头耦合作用的带落角约束制导律。

攻击时间约束制导律首次在文献［13］中被讨论， 旨在实现多枚反舰导弹的齐射攻击。 随后， 文献［14］在线性化假设的基础上， 提出了一种非线性的导弹剩余飞行时间估计方法。 文献［15］使用滑模控制来约束攻击时间， 且制导指令没有奇异性。 在文献［16］中， 高计委提出了一种基于自适应滑模控制的约束攻击时间的制导律。 陈升富等［17］通过设定攻击时间， 提出一种带视场角约束和时间约束的制导律。 文献［18］提出了一种通过将视角曲线作为时间多项式来构造新的攻击时间控制方法。 在文献［19］中， 通过构建一个时间变化的瞄准线曲线， 并应用终端滑模控制， 设计了一种针对各种机动目标的攻击时间约束制导律。 在最优误差动态框架下， 文献［20］设计了一个包括比例导引和攻击时间误差反馈回路的攻击时间约束制导律。 文献［21］开发了一个具有精确的时间估计的变增益比例导引法， 以实现在不同制导场景下的精确攻击时间控制。 Jeon等［22］提出了一种新型的比例导引方法， 通过使用时变的自适应制导增益， 调整多枚导弹的拦截时间间隔。 针对多弹协同攻击问题， 受限于导弹速度的不可控， 张振林等［23］提出了一种新型导弹协同制导律。 该制导律基于领弹-从弹策略在导弹速度不可控的前提下， 成功实现了角度约束下的时间协同。 陈亚东等［24］在视场角受限的条件下提出了一种三维攻击角度控制导引律。 马萌晨等［25］提出了一种拦截机动目标的三维协同制导律。

现有的三维导引律中多采用对导引律解耦为俯仰方向和偏航方向进行单独设计， 但由于在三维空间中的制导模型存在非线性， 俯仰通道和偏航通道之间存在交叉耦合关系， 导引指令的设计过于复杂， 缺乏直观性。 为解决这一问题， 本文引入了三维矢量制导模型， 将最优平面的约束角度控制律扩展到三维， 并引入约束视场角及攻击时间的偏置项， 提出了一种在视场角限制的条件下约束攻击时间和攻击角度的三维矢量制导律。

1 约束攻击时间和角度的三维导弹运动模型

1.1 三维制导模型

考虑在三维空间中导弹M攻击静止目标T， 其制导的几何模型如图1所示。 其中， XvYvZv为速度坐标系， 原点O代表导弹的质心， XYZ为惯性坐标系的方向。 假设导弹在末制导阶段的速度大小保持不变， 用矢量Vm表示， R表示导弹和目标的相对位置矢量， 定义为

R=Pt－Pm（1）

式中： Pm和Pt分别为导弹和目标的位置矢量。

矢量ac表示导弹的加速度， 与速度Vm垂直。 在实际应用中， 通常将加速度ac沿俯仰和偏航两个方向进行分解， 即速度坐标系下MYv轴的ay和MZv轴的az， 加速度ac可表示为

ac=ay+az（2）

ΩR为弹目视线的旋转角速度矢量， Ωv为导弹速度矢量Vm的旋转角速度矢量， 可分别表示为

ΩR=－Vm×RR2

Ωv=－Vm×acVm2（3）

式中： ×为两个矢量的外积； ·为矢量的二阶范数。

1.2 约束攻击角度的三维矢量运动模型

如图2所示， 其中XYZ为导弹的惯性坐标系， 为了方便制导律设计， 引入了一些单位矢量和角度。 其中Vm为导弹的速度矢量， Vm为导弹速度矢量的二阶范数， 其单位向量为vm， 三者之间的关系可以表示为

Vm=Vm

vm=Vm/Vm（4）

R为导弹和目标的相对位置矢量， 其二阶范数为r， 其单位向量为vR， 三者之间关系可表示为

r=R

vR=R/r （5）

Vd为期望的攻击速度矢量， 其单位向量为vd， 二者之间关系可表示为vd=Vd/Vd。 在假设攻角和侧滑角很小的条件下， 速度轴与导引头主轴会在同一直线上， 由此可将导弹视场角σ定义为导弹的速度方向Vm和导弹与目标的连线R之间形成的空间夹角， 同时， 视场角σ也可以被视为导弹和目标之间的航向误差， 将期望的攻击速度矢量Vd与弹目连线矢量R之间的夹角定义为δ， 此时σ和δ可表示为

σ=arccosvm·vRvmvR σ∈［0， π］

δ=arccosvd·vRvdvR δ∈［0， π］ （6）

因此， 考虑重力情况下的导弹动力学方程可以描述为［26］

R·=－Vm（7）

V·m=ac+（g·vm）vm（8）

r·=－Vmcosσ（9）

σ·=Vmsinσr－ac·vRVmsinσ（10）

δ·=－Vmrsinδvd·vm－VmcosσrsinδvR·vd（11）

因此， 在三维矢量制导模型中， 视场角限制的条件下， 攻击时间和攻击角度的约束律可表示为

R→0

t→td

Vm→Vd

0≤σ≤σmax （12）

式中： t为导弹的飞行时间； td为导弹期望的攻击时间； σmax表示导弹的最大视场角。

三维制导模型和欧拉角制导模型是为解决同样问题而采用的不同模型构建方法。 因此， 在三维矢量模型中， 期望的速度矢量vd与欧拉角制导模型中的期望俯仰角θd和方向角φd之间存在如下的转换关系：

vd=cosθdcosφd

cosθdsinφd

sinθd（13）

2 具有攻击约束的三维矢量制导律设计

2.1 约束攻击角度的三维矢量制导律

在三维空间中， 比例导引指令为

aPNG=NΩR×Vm（14）

式中： N为比例导引系数； ΩR为弹目视线的旋转角速度矢量。

受到文献［27］的启发， 可以将约束角度的三维矢量制导律设计为

aIACG=NΩR×Vm+2（N－1）V2mδcosσn vd×vRvd×vR×vm （15）

将式（3）代入式（15）， 具有角度约束的三维矢量制导律aIACG为

aIACG=－NV2msinσrvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（16）

根据式（16）可得， 约束角度的三维矢量制导律包括两个部分： 一个是在vm×vRvm×vR×vm方向上的拦截部分， 用于减小航向误差； 另一个是在vd×vRvd×vR×vm方向上的转向部分， 用于实现期望的冲击角度。

在初始条件下， 当σ0≤π2时， 通过式（15）的制导律使导弹能够以期望的速度方向Vd击中目标， 也就是在三维空间中实现了期望的冲击角度。

证明： 将式（9）与式（4）～（5）联立可得vR的时间导数为

v·R=－Vmrvm+VmcosσrvR（17）

由于设计的制导律方向始终垂直于速度方向vm， 因此vm的时间导数为

v·m=aIACGVm=－NVmsinσrvm×vRvm×vR×vm+2（N－1）Vmδcosσrvd×vRvd×vR×vm（18）

由式（6）可得σ的时间导数为

σ·=－1sinσ（v·R·vm+vR·v·m）（19）

联立式（16）～（18）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （20）

δ对时间的导数为

δ·=－1sinδ（v·R·vd+vR·v·d）=

－Vmsinσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （21）

通过式（19）可知

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（22）

对于所有t>0， A=σ|0≤σ<π2都是一个正不变集， 因此， 在初始条件σ0≤π2下， 对于所有t>0， 始终满足0≤σ<π2。 由于r·=－Vmcosσ， 导弹与目标之间的相对距离单调递减至零。

令ε=arccosvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR， 构造函数

T=sinσsinδsinε≥0， 对函数T求导可得

T·=σ·cosσsinδsinε+δ·sinσcosδsinε+

ε·sinσsinδcosε（23）

T·=－（N－1）Vmsinσcosσsinδsinεr－2Vmcos2σsinδsinεr≤－（N－1）VmcosσrT（24）

由于r·=－Vmcosσ， 则

dTdt=r·（N－1）Tr （25）

转化为T对r的导数， 即

dTdr≥（N－1）Tr（26）

通过微分式（26）可得0≤T≤rr0N－1， 其中， r0表示r的初始值， 因此， 当r趋近于 0 时， limr→0（sinσsinδsinε）=0。 此时矢量Vm， Vd和R处于同一平面上。 可见， 在制导律式（14）的作用下， 随着导弹接近目标， 三维空间制导问题将转化为文献［9］中的二维平面制导问题。 根据文献［9］的结论， 即可证明该制导律可以使导弹在三维空间实现对攻击角度的约束。

2.2 视场角约束下的攻击时间和角度三维矢量制导律

由式（15）可知， 约束角度的三维矢量制导律包含用于减小航向误差的拦截部分和用于实现期望的冲击角度转向部分。 为了实现所期望的攻击时间， 可以通过将式（15）的拦截部分与一个时间偏置项atime相结合， 则具有约束攻击时间和角度的三维矢量制导律aITAG设计为

aITAG=－NV2msinσr+atimevm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（27）

此时， σ对时间的导数为

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσcosεr－atimeVm（28）

假设ε值很小， 结合式（21）和（28）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσr－atimeVm（29）

δ·=－Vmsinσr（30）

将剩余时间误差定义为Δ=td－t－tgo， 其中， td为期望的攻击时间， tgo为剩余飞行时间。 剩余飞行时间可以被设计为［8］

tgo=rVm1+sin2σ2（2N－1）（31）

结合式（31）， 假设σ为小角度， 则误差Δ对于时间的导数为

Δ·=－rsin2σ2（2N－1）V2matime（32）

将最优误差动力学方程设计为

Δ·+K·PσσmaxtgoΔ=0（33）

式中的K为设计参数， 在文献［8］中已经证明了在误差动力学方程（33）下， 时间误差Δ能够在有限时间内收敛到0， 因此视场角限制下的时间偏置项atime可以设计为

atime=（2N－1）V2mcosσPσσmaxrtgosin2σαΔ（34）

式中： α为增益系数。

限制视场角的函数为

P（x）=cosπx22 （35）

将式（34）代入式（28）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσcosεr-

（2N－1）VmcosσPσσmaxrtgosin2σαΔ （36）

在σ=π/2的情况下有

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（37）

类似式（22）的证明方法， 式（37）可以得出基于式（27）的制导律。 在初始条件0≤σ<π/2的情况下， 导弹可以在三维空间中以期望的攻击角度和时间击中目标。

注意到， 在偏置项atime中， 当σ→0时， 可能会出现奇异性。 为了防止这种情况出现， 令κ=sin2σ， 构造辅助函数ζ， 代入式（34）， 此时改进后的制导律为

atime=（2N－1）V2mcosσPσσmaxrtgo ζ（κ）καΔ（38）

其中函数ζ为

ζ=κl2－1≤κ≤1

1else（39）

式中： l为设计参数。

根据洛必达法则limκ→0ζ（κ）κ=2·κ·κ′a2κ′=0， 因此可以避免偏置项atime中奇异点的出现。

将式（35）和（38）代入式（27）， 视场角限制下的约束攻击时间和角度的三维制导律为

ac=－NV2msinσr+（2N－1）V2mcosσrtgo·

cosπσσmax22 ζ（κ）καΔvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（40）

在实际过程中， 制导指令ac将沿着速度坐标系分解为俯仰加速度ay和偏航加速度az， 基于文献［28］， 考虑重力补偿的导弹三维多约束末制导律可表示为

ay=j·ac

az=k·ac+gcosω （41）

式中： ω为导弹的弹道倾角。

令Vi， Vj， Vk分别为导弹的速度方向vm在惯性坐标系中沿着X轴、 Y轴、 Z轴的投影， 因此， ω可表示为ω=arctanVkV2i+V2j。 矢量j为速度坐标系下Y轴的单位向量， k为速度坐标系下Z轴的单位向量， j， k可表示为

jk=－sinφmcosφm0

－sinθmcosφm－sinθmsinφmcosθm （42）

式中： θm为导弹的俯仰角； φm为导弹的偏航角。

3 数值仿真

仿真中提供了三种场景， 以验证所提出的制导律在不同场景下的有效性。 在所有仿真过程中均使用相同的参数， 即N=3， K=1， l=0.01， α=12， 导弹在俯仰和偏航方向的最大加速度均为10g。

此外， 为了更好地可视化导弹的速度方向， 导弹的速度方向vm使用俯仰角θm和偏航角φm来表示， 如图2所示。 其转化关系可以表示为

vm=cosθmcosφmcosθmsinφmsinθm（43）

导弹的俯仰角和方位角范围分别为［－90°， 90°］和［0°， 360°）， 并且导弹期望的速度方向Vd也通过俯仰角和偏航角θd和φd来描述， 其转换关系可以由式（13）得到。 为了更直观地判断制导律对于角度约束的有效性， 将攻击角度误差定义为当前速度方向与期望速度方向的夹角， 表示为

error=arccosVm·VdVmVd（44）

场景一： 约束时间和攻击角度的三维矢量制导律

为验证所提制导算法在期望角度下的攻击时间约束能力， 将3枚导弹的初始位置均设定在（10 000， 10 000， 10 000） m， 目标位置设定在（0， 0， 0） m， 导弹初始速度设定为（0， －300， 0） m/s， 目标的初始速度设定为（0， －40， 0） m/s。

导弹的期望攻击时间分别为70 s， 80 s， 90 s， 期望的俯仰角为θd=－60°， 偏航角为φd=90°。 仿真结果如图3～8所示。

根据图3和图5所示， 本文提出的约束攻击时间和攻击角度三维矢量制导律可以使导弹成功击中目标， 并且导弹的视场角均能收敛至零。 从图4和图6可以看出， 导弹目标距离和导弹期望速度方向与导弹实际速度方向的误差均能在期望的时间收敛至零， 从而实现在不同的时间以相同的角度击中目标。 图7和图8分别为导弹的俯仰和偏航方向过载， 且两个方向的加速度大小均被限制在10g以内。

场景二： 视场角限制下约束时间和攻击角度的三维矢量制导律

为验证所提制导算法的视场角约束能力， 导弹的最大视场角为σmax=55°， 导弹的期望攻击时间分别为70 s， 75 s， 80 s， 其他条件均和场景一相同。 仿真结果如图9～14所示。

由图9～12可以看出， 3枚导弹均能以期望的攻击时间和角度击中目标， 导弹的视场角、 导弹速度方向和期望速度方向的误差能收敛至零。 从图11可得， 与场景一相比， 导弹的视场角在制导过程中均能保证角度约束，

且最大视场角被限制在55°以内。 图13和图14分别为导弹的俯仰和偏航方向过载， 且两个方向的加速度大小均被限制在10g以内。 对比场景一的仿真结果， 本文提出的制导律能够在视场角约束的情况下， 实现以不同的期望攻击时间和角度击中目标。

场景三： 不同攻击角度约束下的多导弹齐射攻击

为验证所提制导算法在期望时间下的攻击角度的约束能力， 将5枚导弹的初始位置均设定在（10 000， 10 000， 10 000） m， 目标位置设定在（0， 0， 0） m， 导弹初始速度设定为（0， －300， 0） m/s， 目标的初始速度设定为（0， －30， 0） m/s。 导弹的最大视场角为σmax=55°， 导弹的期望攻击时间为80 s， 不同的攻击角度约束如表1所示， 仿真结果如图15～20所示。

从图15和图17可以观察到， 通过本文设计的制导律， 导弹能够成功地以不同的期望攻击角度在三维空间中攻击目标。 此外， 图16和图17显示出在导弹的飞行过程中， 最大视场角始终被限制在55°， 并且所有导弹均能以期望的角度在期望的攻击时间击中目标。 图19和图20分别代表导弹的俯仰和偏航方向过载， 且两个方向的加速度大小均被限制在10g以内。

4 结 论

针对三维空间中视场角限制下导弹的攻击时间和攻击角度控制问题， 本文提出了一种基于偏置比例导引的矢量制导方法， 能够使导弹在视场角限制的条件下实现对攻击时间和攻击角度的约束。 与其他制导律相比， 本文设计的制导指令不需要进行制导律的切换以及模型的解耦， 参数选择相对便捷。 通过多个场景的数值仿真验证了该制导律能够使导弹在多种约束条件下精确地击中目标， 验证了该方法的有效性。

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Design of Three-Dimensional Vector Guidance Law for Attack

Time and Angle under Field of View Angle Constraints

Xiong Tianhao1， Wang Changyuan1， Zhang Ke2*， Su Yu2， Guo Zhengyu3

（1.School of Armament Science and Technology， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China；

2. School of Astronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China;

3. China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China）

Abstract： In order to enhance the precision of missile strikes on targets， controlling the three-dimensional gui-dance problem involving attack time and attack angle is of significant importance in practical applications. For addressing this problem， this paper proposes a control law for attack time and attack angle under field-of-view constraints based on the three-dimensional vector guidance model. Firstly， by extending the planar vector guidance law to three-dimensional space， it introduces a three-dimensional vector attack angle constrained guidance law. Secondly， incorporating a residual time bias term into the interception component of the above guidance command， it designs a three-dimensional vector guidance law under field-of-view constraints， and performs the stability analysis. This design ensures that the missile can hit the target with the desired attack time and attack angle within the constraints of the field of view， with errors less than 0.01. Finally， the correctness and effectiveness of the designed guidance law are validated through numerical simulations.

Key words： missile； vector guidance law； field of view constraint； attack time constraint； attack angle constraint； coupled nonlinearity