解答绝对值不等式问题的两种途径

一、数形结合

我们知道，[|x-a|]表示数轴上的点[x]到点[a]的距离，这就是绝对值的几何意义.在解答绝对值不等式问题时，我们可以先根据绝对值的几何意义，分别令绝对值内部的式子为零；然后在数轴上标出零点，移动点x，结合数轴找出满足不等式的点x的集合.

有时我们可以根据绝对值的性质去掉绝对值符号，用分段函数的形式表示出含有绝对值的式子，并画出其函数的图象，便可通过研究函数的图象，找到直角坐标系中满足不等式的点的集合.

例2.已知函数[f（x）=|x+2|+2|x-1|]，求不等式[f（x）≥6]的解集.

作出函数[f（x）]和直线[y=6]的图象，如图所示.

当[f（x）=|x+2|+2|x-1|]=6时，[x=±2].

由图2可知，要使[f（x）≥6]，只需使图象上的点都在直线上或直线的上方，

所以不等式[f（x）≥6]的解集为[（-∞，-2]⋃[2，+∞）].

画出[f（x）]与直线[y=6]的图象，便可以直观的方式快速找到满足不等式的x的集合，进而使问题快速获解.利用数形结合法解题较为便捷，可以通过判断点、直线、曲线之间的位置关系，直接找到不等式的解集.在解题时，要关注图形中交点的位置，这往往是不等式解集的临界点.

二、采用零点分段法

在解答绝对值不等式时，可以分别令每个绝对值内部的式子为0；然后用零点将实数集划分为几个区间段；再在每个区间段上，根据绝对值内部式子的符号去掉绝对值符号，便可通过解不等式求得问题的答案.

例3.已知函数[f（x）=|2x-2|+|2x+3|]，解不等式[f（x）+|x-1|≤10].

解：由[f（x）+|x-1|≤10]可得[|2x+3|+3|x-1|≤10]，

当[x≥1]时，不等式可化为[3x-3+2x+3=5x≤10]，

解得[x≤2]，则[1≤x≤2].

综上所述，不等式的解集为[[-2，2]].

相比较而言，零点分段法比较常用，数形结合法较为便捷.同学们在解题时，要根据题目中不等式的结构特征，选用最佳的解题途径.