一道直线的斜率之积为定值问题的解法探究

直线的斜率之积为定值问题常出现在圆锥曲线试题中.这类问题的难度较大，解题的过程较为繁琐，通常会重点考查直线的斜率公式、直线与圆锥曲线的位置关系.下面以一道高考题为例，谈一谈解答直线的斜率之积为定值问题的方法.

解法1：直接法

直接法是根据题意，直接利用相关的公式、定理、定义等求解的方法.运用直接法求解直线的斜率之积为定值问题，需先根据题意设出相应的点的坐标、圆锥曲线的方程、直线的方程；然后直接根据直线的斜率公式求得两直线的斜率；再通过恒等变换消去参数，即可证明两直线的斜率之积为定值.

解：设点[Px1，y1]，则[Q-x1，y1]，[x1≠±a]，

因为[A-a，0]，

我们先根据题意设出A、P、Q的坐标；然后直接根据直线的斜率公式求得直线AP、AQ的斜率；再根据P、Q所满足的关系式进行消元，即可得到a、b的关系式.

解法2：利用椭圆第三定义

解：如图所示，设椭圆[C]的右顶点为[B]，连接PB.

由于点[P]、[Q]均在椭圆[C]上，且关于[y]轴对称，

所以直线[BP]、[AQ]也关于[y]轴对称，

由于A、B为椭圆的顶点，所以可以根据椭圆的第三定义建立关于直线PA、PB的斜率的关系式[kAP⋅kBP=e2-1].再根据P、Q两点的对称性建立关于e的方程，即可解题.

解法3：利用参数方程

直线以及圆锥曲线都有与其对应的参数方程.在解答直线的斜率之积为定值问题时，可以根据直线或椭圆的参数方程设出直线、椭圆上的点，并将其代入题设条件中建立关系式，便可用三角函数表示出两直线的斜率，进而通过三角恒等变换消元，求得定值.

解：设[Pacosθ，bsinθ]，则[Q-acosθ，bsinθ]，

相比较而言，直接法比较常用，椭圆的第三定义和参数方程的适用范围较窄，但在解题过程中的运算量较小，且较为便捷.同学们在解题时要学会将椭圆的顶点与椭圆的第三定义，椭圆上的动点与参数方程关联起来，这样才能快速找到更为便捷的解题方法.