说说动点的轨迹方程的两种求法

动点的轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中.解答这类问题，需熟悉一些平面几何图形，如用抛物线、双曲线、椭圆、等腰三角形、平行四边形、圆的特征和方程，灵活运用点到直线的距离公式、两点间的距离公式、勾股定理、正余弦定理等建立关系式.本文将结合几道例题，谈一谈求解动点轨迹方程问题的两种方法，以供读者参考.

一、相关点法

如果动点的轨迹和其他点的位置有关，那么这个动点存在相关点，则可以采用相关点法求动点的轨迹方程.首先建立动点与相关点的坐标之间的关系；然后列出有关相关点的坐标的关系式；再用动点的坐标表示相关点的坐标，通过代换，求得动点的轨迹方程.

例1.如图所示，抛物线[E：y2=2x]与圆[O：x2+y2=8]相交于[A]、[B]两点.点[P（x0，y0）]是圆上的一点，过点[P]作圆[O]的切线和[E]交于[C]、[D]两点，过[C]、[D]两点作抛物线的切线[l1，l2]，交于点[M]，求点[M]的轨迹方程.

将其代入[y2=2x]可得[ky2-2y+2y1-ky12=0]，

因为[l1，l2]是抛物线的两条切线，

由题意可知点M为抛物线的切线[l1]、[l2]的交点，所以点C、D是点M点的相关点，于是采用相关点法，分别设出C、D、M的坐标，建立关于C、D的坐标的关系式，然后用x、y表示出相关点的坐标，通过代换消去参数，从而求得M的轨迹方程.

二、交轨法

交轨法适用于求两动曲线的交点的轨迹方程.先选择合适的参数表示两动曲线的方程；然后通过消元的方式将参数消去，即可得到两动曲线交点的方程.

消去t可得[x2-y2+2x-2y+8=0]，即为点[M]的轨迹方程.

当[t=-2或t=-1]时，[PA]与[QB]的交点坐标也满足上式.

运用交轨法解题本质上是根据动点同时满足两曲线的方程的前提条件，联立两个方程，通过消参求得交点所满足的方程.

求动点的轨迹方程的方法很多，关键在于把握问题的本质，明确动点与直线、曲线之间的位置关系，找到动点的坐标所满足的方程，就能顺利求得问题的答案.