如何比较对数（式）的大小

一般地，对于简单的两个对数（式），我们通常可以直接根据对数函数的单调性、运算性质、图象等来比较其大小；对于较为复杂的对数（式），如底数、真数都不同的对数式，我们往往需另辟蹊径，采用作差法、赋值法，通过取中间值来比较二者的大小.下面主要谈一谈比较对数（式）大小的三种途径.

一、采用作差法

作差法是比较对数（式）大小的常用方法.首先把所要比较的两个对数（式）相减；然后根据对数运算法则和换底公式，将差式进行化简、变形，使其为几个因式的积；接着根据差式的符号，判断两个对数（式）的大小关系.若a-b[>0]，则[a>b]；若a-b[<]0，则[a<b]；若a-b=0，则a=b.

例1.设a，b，c为正数，且2a=3b=5c，则下列正确的是（ ）.

A. [2a>5c>3b] B. [5c>2a>3b]

C. [5c>3b>2a] D. [3b>2a>5c]

因为logt9-logt8[>]0，logt2·logt3[>]0，

所以2a-3b[>]0，即2a[>]3b.

同理可得2a-5c[<]0，即2a[<]5c.

所以5c>2a>3b，故本题的正确答案为B.

解答本题主要运用了作差法.首先根据对数的定义把指数化为对数；然后将2a与3b、2a与5c作差，通过变形，把不同底数的对数式转化为同底数的对数式；再判断出差式的符号，即可比较出三个对数的大小.

二、取中间量

例2.比较下列对数式的大小：

①log56，log65，log7（log65）；

②log1.30.7，log0.50.6，1.30.7.

解：①因为log56>log55=1，0=log61<log65<log66=1，

log7（log65）<log7（log66）=log71=0，

所以log56>log65>log7（log65）.

②log1.30.7[<]log1.31=0，

0=log0.51[<]log0.50.6[<]log0.50.5=1，[1.30.7>1.30]=1，

所以log1.30.7[<]log0.50.6[<1.30.7].

我们借助0和1这两个中间量来比较三个对数（式）的大小.当两个或几个对数（式）的底数、真数均不相同，无法直接比较出其大小时，同学们要学会借助中间量来铺路架桥.

三、赋值

赋值法，即通过赋予某个具体的值，使问题快速得解.运用这种方法解题，可以简化运算的过程，降低解题的难度.赋值法是解答选择题或填空题比较常用且有效的方法.运用赋值法比较对数（式）的大小，首先要观察对数式，明确其结构特征，给某个（些）元素赋予特殊的值；然后将特殊值代入对数式中进行计算；接着比较所求结果的大小，进而判断出两个对数（式）的大小关系.

我们结合已知条件，先给m、n、p赋予三个特殊值7、3、1；再将其代入对数函数式中进行计算，求出M、N、P的值，这样三个函数式的大小关系也就“呼之欲出”了.当所要比较的对数式中含有多个参数，按照常规方法难以判断出它们之间的大小关系时，同学们要巧妙赋值，将问题化难为易.

总之，比较对数（式）大小的方法众多.在平时的解题训练中，同学们不要局限于一种方法，要学会运用多种方法，拓宽解题的思路，提升解题的效率.