巧用同构法，妙解代数题

有些代数问题较为复杂，若采用常规方法求解，其过程较为繁琐，而运用同构法能大大减少计算量，从而提高解题的效率.同构式是指两个式子的结构相同、形式相似.运用同构法解题的关键在于构造出合适的同构式，将问题转化为简单的方程、函数、不等式问题，从而化繁为简、化难为易.

一、解答不等式问题

运用同构法解答复杂不等式问题，要先将不等式两边的式子进行适当的变形，使其两边式子的结构相同；然后构造出同构函数，便可将问题转化为解不等式[fx1>fx2]或[fx1<fx2]；再根据函数的单调性来解不等式.

例1.已知[x-lny>y-lnx]，则（ ）.

解：将不等式[x-lny>y-lnx]变形得[x+lnx>y+lny]，

所以[fx]在[0，+∞]上单调递增，

由[fx>fy]可得[x>y>0].

当[x>y>0]时，若[x-y<1]，则[lnx-y<0]，

故C项错误；

因为函数[y=x3]在[0，+∞]上单调递增，

所以当[x>y>0]时，[x3>y3]，故D项错误.

故本题的正确答案为B项.

我们先将不等式中含有相同变量的式子放在同一侧，可得[x+lnx>y+lny]，即可构造出同构式；然后构造函数[fx=x+lnx， x>0]，根据导函数的符号判断出函数的单调性；再比较出自变量的大小，即可根据函数的单调性判断出各选项的正误.

例2.若[2x-2y<3-x-3-y]，则（ ）.

A. [lny-x+1>0] B. [lny-x+1<0]

C. [lnx-y>0] D. [lnx-y<0]

解：将不等式[2x-2y<3-x-3-y]变形得[2x-3-x<2y-3-y]，

设[ft=2t-3-t]，

而[y=2x]是R上的增函数，[y=3-x]是R上的减函数，

所以[ft]是R上的增函数，所以[x<y].

因为[y-x>0]，所以[y-x+1>1]，

故[lny-x+1>0]，则A项正确，B项错误；

因为[x-y]与1的大小关系无法确定，

故无法确定C、D两项的正确性.

故本题的正确答案为A项.

先将不等式中变量相同的式子放在同一侧，得[2x-3-x<2y-3-y]；然后构造同构函数，即可利用函数的单调性判断出[x、y]的大小关系.

二、解答方程问题

有些方程经过适当的变形可以转化为结构相同的方程，此时便可以采用同构法来解题.根据同构方程构造出方程和函数，将问题转化为求方程的根和函数零点的问题.这样不仅能简化解题的步骤，还能提高解题的效率.

例3.解方程：[log53x+4x=log45x-3x].

解：令[log53x+4x=log45x-3x=t]，

则[3x+4x=5t， 5x-3x=4t]，

将两式相加得[4x+5x=4t+5t]，设[fx=4x+5x]，

由指数函数的性质知[fx]在R上单调递增，

当[gx=0]时OcAnElSYfkyFlXD8gK6ybC+wqspBW+UE8d2hhE0MjbE=[x]的值即为方程[3x+4x=5x]的解，

由指数函数性质知[gx]在R上单调递减，

所以[gx=0]有且仅有1个解，

而[32+42=52]，故[g2=0]，所以原方程的解为2.

例4.若[2a+log2a=4b+2log4b]，则（ ）.

A. [a>2b] B. [a<2b] C. [a>b2] D. [a<b2]

解：因为[2a+log2a=22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log22b]，

故[2a+log2a<22b+log22b]，

令函数[fx=2x+log2x]，[x>0]，则[fa<f2b]，

因为[y=2x]和[y=log2x]在[（0，+∞）]上单调递增，

所以[fx]在[（0，+∞）]上单调递增，

而[fa<f2b]，故[a<2b]，则B正确.

先将方程的两边式子变形、放缩，得[2a+log2a=22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log22b]，即可得到同构式[2a+log2a<22b+log22b]；再构造函数，就可以利用函数的单调性求得问题的答案.

三、解答数列问题

有些数列的递推式较为复杂，此时我们需将其进行变形，使其左右两边的式子为同构式，即可将问题转化为等差数列、等比数列、常数列问题，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式、性质来解题.

例5.已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，[a1=1]，[2nSn+1-2n+1Sn=nn+1]，求数列[an]的通项公式．

因为[a1=1]，则[2S1=2a1=2]，

例6.已知数列[an]满足[a1=1]，[nan+1=2n+1an].求[an]的通项公式.

解：因为[nan+1=2n+1an]，

可见，同构法在解答高中数学问题中的应用广泛.同学们在解题时，要根据代数式的结构特征进行合理的变形、放缩，使其为同构式，将问题转化为简单的函数、不等式、方程、常规数列问题来求解.这就要求同学们具备较强的想象力、抽象能力和创新思维能力，通过类比、转化找到同构关系，将问题中的式子转化为结构相同的式子，将问题与其它板块的知识关联起来，从而简化解题的过程，从新的角度寻找到更加简单的解题方案.