综合训练（十三）

一、单选题

A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形

C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

4. 移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了[100]位学生，共中使用过移功支付或共享单车的学生共[90]位，使用过移动支付的学生共有[80]位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有[60]位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）.

A. [0.5] B. [0.6] C. [0.7] D. [0.8]

5. 某中学话剧社的[6]个演员站成一排照相，高一、高二和高三年级均有[2]个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（ ）.

A. [48] B. [144] C. [288] D. [576]

二、多选题

三、填空题

四、解答题

15. 在数列[an]中，[an+2=4an]，[n∈N+]，且[a1=1]，[a2=2].

（1）证明：数列[an]是等比数列；

（2）求数列[{n⋅an}]的前[n]项和[Sn].

16. 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了高中生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取[5]名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：

（2）要从抽取的这五位学生中随机选出[3]位参加一项知识竞赛，记其中数学成绩高于[120]分的学生人数为[X]，求[X]的分布列和数学期望.

参考数据：[902+852+742+682+632=29394]，[90×130+8×125+74×110+68×95+63×90=42595].

17. 如图1所示，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AC⊥BC]，[AC=BC=1]，[CC1=2]，点[D]、[E]分别是[AA1]、[CC1]的中点.

（1）证明：[C1D⊥]平面[BCD]；

（2）求直线[CD]与平面[BC1D]所成角的正切值.

（1）求椭圆[C]的标准方程；

（2）求证：[ΔAOB]的面积为定值，并求此定值.

20. 已知函数[f（x）=lnx+kx]（[k∈R]）.

（1）当[k=-1]时，求函数[f（x）]的极值点；

参考答案与解析

一、单选题

1．【答案】B

又∵[1∈A⋂B]，∴[1∈B]，∴[m=3]，∴[B={1，3}]，

∴[A⋃B={0，1，2，3}]，故本题选B.

2．【答案】A

3．【答案】C

则[ΔABC]是锐角三角形，故本题选C.

4．【答案】C

【解析】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如图2，

5．【答案】C

【解析】分两类，第一类：高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有[A22⋅A33]种不同排法，把高二年级两个同学排入[4]个空位中的[2]个（插空法）有[A24]种不同方法，

第一类有[A22⋅A33⋅A24=144]种站法，

第二类：高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有[144]种站法，

由分类加法计数原理知，共有[144+144=288]种站法，故本题选C.

6．【答案】D

【解析】∵[C1]与[C2]共焦点，∴[C1]与[C2]有的[c]相等，

又[C1]中[a21=m+2]、[b21=n]，[a21-b21=c2]，[C2]中[a22=m]，[b22=n]，[a22+b22=c2]，

∴[m+2-n=m+n]，∴[n=1]，

7．【答案】C

则数列[{S2n+1-Sn}]（[n∈N+]）是递减数列，最大项为

又[m]是正整数，则[m]的最小值为[5]，故本题选C.

8．【答案】D

则[g（x）]有[2]个零点，不符合题意，

当[x<0]时，[-x（kx-1）<0]，[g（x）]无零点，

又[g（0）=0]，则[g（x）]在[[0，+∞）]上有[2]个零点，

所以[k<0]时[g（x）]有[4]个零点，

二、多选题

9．【答案】AD

∴[α=kπ-β]，[k∈Z]，即[α+β=kπ]，[k∈Z]，∴[sin（α+β）=0]，∴A选项对，

对于B选项，[cos（α+β）=cos（kπ）=±1]，B选项错，

对于D选项，又[sin2α+cos2β=sin2（kπ-β）+cos2β=sin2β+cos2β=1]，∴D选项对，

∴本题选AD.

10．【答案】ABCD

对于B选项，令[f（x）=mx2+mx+1]，当[m=0]时，恒有[f（x）=1≥0]成立，

则“[0<m≤4]”是“[mx2+mx+1≥0]”的充要条件不成立，所以B选项错，

对于C选项，由题意可知，对不等式[|x-1|<1]去绝对值得到[-1<x-1<1]，解得[0<x<2]，

当[x∈R]时，对“[x>0]”有“[|x-1|<1]”不一定成立，如[x=2]，反之成立，

于是“[x>0]”是“[|x-1|<1]”的必要不充分条件，则C选错，

立，这显然不可能，所以D选项错，

故本题选ABCD.

三、填空题

12．【答案】[±1]

13．【答案】[36π]

【解析】∵[AM⊥MN]，[SB//MN]，

∴[AM⊥SB]，∵[AC⊥SB]，∴[SB⊥]平面[SAC]，

∴[SB⊥SA]，[SB⊥SC]，

∵[SB⊥SA]、[BC⊥SA]，

∴[SA⊥]平面[SBC]，∴[SA⊥SC]，

∴三棱锥[S-ABC]的三棱条侧棱两两互相垂直，

∴正三棱锥[S-ABC]外接球的表面积是[36π].

14．【答案】②③④

【解析】∵动点[M（x，y）]到两坐标轴的距离之和等于它到点[（1，1）]的距离，

∴当[xy>0]时[（x+1）（y+1）=2]或当[xy<0]时[（y-1）⋅] [（1-x）=0]，

函数图象如图3所示，曲线[E]关于直线[y=x]对称，

∴①错误，②正确，

∴③正确，

∴本题选②③④.

四、解答题

15．【解析】（1）证明：∵[an+2=4an]，[a1=1]、[a2=2]，

当[n=2k-1]、[k∈N+]时，数列[a2k-1]是首项为[1]、公比为[4]的等比数列，

即[a2k-1=1×4k-1=22k-2=2（2k-1）-1]，[k∈N+]，

当[n=2k]、[k∈N+]时，数列[a2k]是首项为[2]、公比为[4]的等比数列，

即[a2k=2×4k-1=2×22k-2=22k-1]，[k∈N+]，

（2）解：由（1）得[an=2n-1]，则[n⋅an=n⋅2n-1]，则[Sn=1×20+2×21+3×22+⋅⋅⋅+（n-2）×2n-3+（n-1）×2n-2+n×2n-1]

[2Sn=1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅+（n-2）×2n-2+（n-1）×2n-1+n×2n]，

∴[Sn=（n-1）⋅2n+1].

（2）抽取的这五位学生中，数学成绩高于[120]分的有[2]人，不高于[120]分的有[3]人，

∴[X]可取[0]，[1]，[2]，

∴[X]的分布列为：

17．【解析】（1）证明：在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[CC1⊥BC]，[AC⊥BC]，

∴[DC2+DC21=CC21]，∴[CD⊥C1D]，

[CD⋂BC=C]，∴[C1D⊥]平面[BCD]；

20．【解析】（1）当[k=-1]时， [f（x）=lnx-x]，定义域为[（0，+∞）]，

当[0<x<1]时， [f（x）>0]，∴[f（x）]在[（0，1）]上单调递增，

当[x>1]时， [f（x）<0]，∴[f（x）]在[（1，+∞）]上单调递减，

∴[f（x）]在[x=1]处取得极大值，无极小值，

即[f（x）]有唯一的极大值点[x=1]，无极小值点；

当[b≤0]时，[g（x）>0]恒成立，则[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，不存在最小值，舍去，

当[b>0]时，令[g（x）=0]，解得[x=b]，

当[0<x<b]时， [f（x）>0]，∴[f（x）]在[（0，b）]上单调递减，

当[x>b]时， [f（x）<0]，∴[f（x）]在[（b，+∞）]上单调递增，

∴[g（x）]在[x=b]处取得极小值，也是最小值，[g（x）min=g（b）=lnb+1]，可取，

∴[a≤lnb+1]，∴[a-1≤lnb]，∴[ea-1-b+1≤1]，∴[ea-1-b+1]的最大值为[1]；

∵[b1]、[b2]为函数[F（b）]的两个零点，不妨设[0<b2<b1]，

原不等式[b1⋅b2>e2]等价于[m⋅（b1+b2）>2]，

∴所证不等式[b1⋅b2>e2]成立.