两类与圆锥曲线有关的三角形面积问题的解法例析

与圆锥曲线有关的三角形面积问题通常较为复杂，且解题过程中的运算量较大.这类问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、弦长公式，三角形面积公式的应用.下面结合实例，谈一谈两类与圆锥曲线有关的三角形面积问题的解法.

一、求三角形面积的大小

求与圆锥曲线有关的三角形的面积，往往需先根据题意画出图形，确定三角形的三个顶点的位置；然后将三角形进行合理的割补，使其成为易于计算边长、高线长的形状；再根据已知条件求得三角形的边长、高线长、夹角；最后根据三角形的面积公式求得三角形的面积.

二、求三角形面积的最值

例2.已知抛物线[C：x2=2py（p>1）]的焦点为[F]，且[F]与圆[M：x2+（y+4）2=1]上点的距离最小值为[4].

（1）求抛物线的方程；

（2）若点[P]在[M]上，[PA，PB]是[C]的两条切线，[A，B]是切点，求[ΔPAB]面积的最大值.

解：（1）抛物线[C：x2=4y]；（过程略）

解答本题，需先对抛物线的方程求导，根据导数的几何意义求得抛物线的切线[PA]、[PB]的方程；然后将两直线的方程联立求得P点的坐标，根据中点的坐标公式求得Q点的坐标.而P、Q的横坐标相同，那么PQ垂直于x轴，A、B到直线PQ的距离为[|x1-x2|]；再根据两点间的距离公式求得[|PQ|]，即可根据三角形的面积公式求得[ΔPAB]的面积；最后将其视为关于[y0]的二次函数，利用二次函数的性质求得最值.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求△OPQ面积的最大值（O为坐标原点）．

综上所述，与圆锥曲线有关的三角形面积问题具有较强的综合性，同学们不仅要灵活运用所学的圆锥曲线知识、三角形知识、导数知识、函数知识、不等式知识等，还要学会运用数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想来辅助解题.