证明数列不等式的两种措施

证明数列不等式问题常与数列、函数、不等式、方程等知识点相结合.因而证明不等式，可以从不同知识点入手来寻找解题的思路.下面结合实例介绍证明数列不等式的两种措施，以供参考.

一、采用数学归纳法

数学归纳法是证明数列不等式的常用方法.一般需要两个步骤：第一步，证明当[n=1]时，数列不等式成立；第二步，假设当[n=k]时数列不等式成立，并将其作为依据来证明当[n=k+1]时，该数列不等式也成立.这样便可证明，对于任意正整数n，该数列不等式均成立.

例[1].已知函数[f（x）=x2-2x-3]，数列[xn]中[x1=2]，[xn+1]是过点[P（4，5）]与[Qxn，fxn]的直线[PQn]与[x]轴交点的横坐标，试证明：[2≤xn<xn+1<3].

解答本题主要运用了数学归纳法，首先证明当[n=1]时不等式成立；然后假设当[n=k]时不等式成立，据此得出直线[PQk+1]的方程，求得[xk+2]、[xk+1]，并证明[xk+2>xk+1]，进而证明当[n=k+1]时不等式成立，从而证得对于任意自然数，[2≤xn<xn+1<3]成立.

二、运用放缩法

运用放缩法证明不等式，需通过放大分子、添加一些项、去掉某一项等方式，将数列的通项公式放大或缩小，以根据等差、等比数列的前n项和公式求和，进而根据不等式的传递性来证明不等式.用该方法解题要注意把握放缩的“度”，不可“放”得过大，也不可“缩”得过小.

由于数列的通项公式中含有[（-1）n-1]，所以需要分奇偶项进行讨论.先将数列的前后项进行合并，以消除[（-1）n-1]；然后通过放缩构造出等比数列，便可根据等比数列的前n项和公式进行求和，从而证明不等式成立.

总之，数学归纳法与放缩法都是证明数列不等式问题的常用方法.在证明数列不等式时，要仔细观察数列，研究其中存在的规律，根据其结构特征选用合适的方法来解题.