对一道三角形最值题解法的探究

有关三角形的最值问题看似较为简单，实际上比较复杂.这类问题常与向量、平面几何、解三角形、三角函数、函数、解析几何等知识相结合.解答三角形最值问题，可以从不同的知识点入手来寻找解题的思路.下面以2022年全国甲卷理科数学的第16题为例，来谈一谈三角形最值问题的解法.

我们可以先根据题意画出几何图形，以明确三角形的边、角关系；然后从以下几个方面来寻找解题的思路.

一、利用基本不等式

解法1. 如图1所示，设[BD=x（x>0）]，则[CD=2x].

在[△ABD]中，[AB2=22+x2-2×2×x×cos120°=x2+2x+4]，

在[△ADC]中，[AC2=22+（2x）2-2×2×（2x）×cos60°=4x2-4x+4]，

二、运用判别式法

在运用判别式法求解三角形最值问题时，可以先运用正余弦定理进行边角互化，将目标式化为关于某条边的二次式；然后设目标式为[m=f（x）]，将其整理成关于[x]的一元二次方程.由于该方程有实根，故判别式[Δ≥0]，这样通过解不等式就可以求出[m]的取值范围，进而确定目标式[f（x）]的值域.

解法2.如图1所示，设[BD=x（x>0）]，则[CD=2x].

在[△ABD]中，[AB2=22+x2-2×2×x×cos120°=x2+2x+4]，

在[△ADC]中，[AC2=22+（2x）2-2×2×（2x）×cos60°=4x2-4x+4]，

运用判别式法求解三角形最值问题，需引入参数，根据正余弦定理将目标式变形为关于某个变量的一元二次方程，方可根据方程有实根，得出判别式[Δ≥0].

三、采用导数法

导数法是求函数最值常用的方法.运用导数法求解三角形最值问题，需先将目标式化为关于某条边的函数式，以将问题转化为函数最值问题来求解；然后根据求导公式对函数式求导，并求得导函数的零点；再用其零点将自变量的取值范围划分为几个子区间，并在每个子区间上讨论函数的单调性，即可根据函数的单调性、极值的定义求得函数的最值.

解法3.以D点为坐标原点，BC为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

运用导数法解题，需熟练运用求导公式、求导法则、导数与函数单调性之间的关系、极值的定义，通过研究函数的单调性、求函数的极值来确定目标式的最值.

四、构造阿波罗尼奥斯圆

设[BD=x]，则[CD=2x]，[OC=4-2x]，[OB=4+x].

由阿波罗尼奥斯圆的性质知，[OC⋅OB=R2]，

五、借助托勒密定理

托勒密定理：在凸四边形[ABCD]中，有[AB⋅CD+AD⋅BC≥AC⋅BD].其中等号成立的充要条件是[ABCD]为圆的内接四边形.如果题目中涉及四边形的边长及其对角线长，就可以考虑使用托勒密定理来建立不等式关系式.而一些三角形往往可以被补形成四边形，这样就能使用托勒密定理来建立各条线段之间的不等关系式，进而求得最值.

解法5.如图3所示，作[C]关于[AD]的对称点[C]，设[CD=2BD=2t]，

运用托勒密定理求解最值问题，需关注等号成立的条件，即四边形是圆的内接四边形.

解法1、解法2、解法3主要从代数的角度切入，解法4和解法5主要从几何的角度进行思考.可见，解答三角形最值问题，可以从“数”“形”两个角度来寻找解题的思路.同学们在解答三角形最值问题时，要学会将数形结合起来，尝试从不同的角度来寻找解题的途径，以优化解题的方案，提升解题的效率.