灵活运用构造法，快速比较函数式的大小

比较函数式的大小问题经常出现在各类试题中.此类问题一般较为简单，常以选择题、填空题的形式出现.比较函数式的大小问题主要考查幂函数、指数函数和对数函数的运算法则、图象、性质.接下来，通过几个例题介绍一下如何通过构造函数来比较函数式的大小.

一、根据同构式构造函数

有时观察所要比较的各个函数式的结构特征，可以找出它们的相同点和不同点，将结构特征不同的函数式进行适当的变形，即可将所要比较的式子转化为结构相同、形式相似的式子，即同构式，便可根据同构式的结构特征构造出与之相应的函数模型.然后判断出函数的单调性，将所要比较的函数式看作新函数在取不同自变量时的函数值，利用函数的单调性进行比较.

则当[0<x<e]时， [fx>0]；当[x>e]时， [fx<0].

所以[f（x）]在[（0， e）]上单调递增，在[e，+∞]上单调递减，

由于[e<3<5]，所以[fe> f（3）>f（5）]，即[b>a>c].

例2.已知[9m=10，a=10m-11， b=8m-9]，则（ ）.

A.[ a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a]

解：因为[9m=10]，所以[m>1]，

已知[a=10m-10+1， b=8m-（8+1）]，

构造函数[fx=xm-x+1， x>1]，

则[a=f10]，[b=f（8）]，且[fx=mxm-1-1]，

所以当[x>1]时， [fx>0]，

则[f（x）]在[（1，+∞）]上单调递增，

又[f9=0]，则[f10>f9>f（8）]，

即[a>0>b]，故选A项.

将a、b两式变形，构造出同构式，并构造出函数[fx=xm-x+1]，就将问题转化为比较[f10、f（8）]的大小.根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数在[（1，+∞）]上的单调性，即可根据函数的单调性比较出[f10、f（8）]的大小.

二、通过作差（作商）构造函数

有些要比较的函数式为幂、积、商的形式，此时可将所要比较的式子作商；有些要比较的函数式为多项式，此时可将要比较的式子作差，再构造函数，利用函数的单调性来比较它们的大小.

构造函数[f（x）=（1-x）ex]，[x>0]，求导得[f（x）=-xex]，故[f（x）<0]在（0+∞）上恒成立，

即[f（x）]在（0+∞）上单调递减，所以[f（0.1）<f（0）=1，]

所以[hx>0]，即[h（x）]在[[0，0.1]]上单调递增，

又[h0=0]，所以[h（x）]在[[0，0.1]]上单调递增，

可知[h0.1>h0=0]，

即[0.1e0.1>-ln1-0.1=-ln0.9]，

故[a>c].综上可知，[b>a>c]，故选C项.

观察题目中的三个式子，发现其形式各异，于是先将b与c，a与c作差，并构造函数；然后利用导数知识讨论函数的单调性，根据函数单调性求得最值，使得在[（0，+∞）]上[fx≤0]，在[[0，0.1]]上[hx=xex+ln1-x]单调递增，即可比较出三个式子的大小关系.

要比较两个较为复杂的函数式的大小，往往要仔细研究要比较式子的形式、结构，对其进行适当的变形、配凑，以得到同构式，或将其作差、作商，再构造出合适的函数模型，即可利用函数的单调性获得问题的答案.