巧构函数，妙解不等式题

不等式与函数之间的关系紧密.对于较为复杂的不等式问题，如含有指数式、对数式、高次幂、导数等的不等式，通常需采用构造函数法来求解，这样才能化难为易，快速求得问题的答案.本文将结合例题，谈一谈如何巧妙构造函数，利用函数的性质、图形来解答不等式问题.

一、根据求导公式构造函数

对于含有导数、积式、商式的不等式，我们往往可以根据求导公式、求导法则来构造出函数，进而根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，便能直接利用函数的单调性来证明不等式或比较两个代数式的大小.

因为函数[f（x）]是[R]上的奇函数，所以[g（x）]是定义域上的偶函数.

因为当[x>0]时，[xf（x）>f（x）]，所以[xf（x）-f（x）>0]，

二、根据同构式构造函数

对于含有双变量的不等式问题，通常可以将不等式左右两侧的式子化为同构式，即结构相同、形式相似的式子.然后根据同构式的结构特征构造函数，即可根据函数的图象、性质来解题.

例3.已知函数[f（x）=aex-1-lnx+lna]，若[f（x）≥1]，求参数[a]的取值范围.

解：因为[f（x）=aex-1-lnx+lna]，

由[f（x）≥1]得[aex-1+lna≥lnx+1]，

在该式的两边同时加上[x-1]得[aex-1+lna+x-1≥lnx+x]，

即[elna+x-1+lna+x-1≥lnx+elnx].

设[g（x）=x+ex]，则[g（x）=ex+1>0]，所以[g（x）]单调递增，

则[lna+x-1≥lnx]，即[lna+x-lnx-1≥0].

所以[h（x）]在[（0，1）]上单调递减，在[（1，+∞）]上单调递增，

所以[h（x）min=h（1）=lna≥0]，则[a≥1].

我们需先将不等式左右两侧的式子变形为同构式；然后构造出函数[g（x）=x+ex]，根据函数的单调性将不等式化为[lna+x-1≥lnx]；再构造新函数[h（x）=lna+x-lnx+1]，根据其单调性求得函数的最小值，确保不等式恒成立，即可求得a的取值范围.

总的来说，运用构造函数法解答不等式问题，关键是将不等式进行合理的变形，使其成为同构式，或将其与求导公式关联起来，以将问题转化为函数单调性问题，通过研究函数的单调性来求得问题的答案.