如何求数列的通项公式

数列的通项公式是表示数列中的每一项与其项数之间的关系式.一般地，我们只要知道了数列的通项公式，就能快速求出数列的任意一项.对于简单的等差数列、等比数列问题，我们可以直接根据等差、等比数列的通项公式来求解.而对于一些较为复杂的数列通项公式问题，则需根据递推关系式的特点，选用相应的技巧来求解.接下来，笔者将详细介绍求数列通项公式的两个技巧：累加、累乘.

一、累加

对于形如[an+1=an+f（n）]的递推关系式，其中[f（n）]是关于[n]的式子，要求该数列的通项公式，需先将递推关系式变形为[f（n）=an+1-an]；然后将n=1，2，3，…，n-1代入递推关系式中，可得[a2-a1=f（1）]，[a3-a2=f（2）]，…，[an-1-an-2=f（n-2）]，[an-an-1=f（n-1）]；再将各项累加起来，中间的[a2、a3……an-2、an-1]就会相互抵消，那么[an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=f1+f2+…][+fn-1=an-a1]，化简该式即可求得[an]的表达式.

例1.若数列[an]满足：[a1=1]，[an+1=an+2n]，求数列[an]的通项公式.

解：由[an+1=an+2n]，得[an+1-an=2n]，

所以当[n≥2]时，[a2-a1=21]，[a3-a2=22]，[a4-a3=23]，…，[an-1-an-2=2n-2]，[an-an-1=2n-1]，

则[an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1]

而[a1=1]满足上式，

所以数列[an]的通项公式为[an=2n-1].

该数列的递推关系式为[an+1-an=2n]，形如[f（n）=an+1-an].于是采用累加法来求数列的通项公式，将n=1，2，3，…，n-1时的各项相加，即可快速求得数列的通项公式.

二、累乘

例2.若数列[an]满足：[a1=1，an+1=2nan]，求该数列的通项公式.

该递推关系式形如[an+1=an⋅f（n）]，可直接运用累乘法求数列的通项公式.值得注意的是，有时数列的首项不一定会满足所求的通项公式，所以往往要将[a1]代入通项公式中，若[a1]满足所求的[an]，则可直接用[an]表示数列的通项公式.若[a1]不满足所求的[an]，则需用分段式表示数列的通项公式.

例3.已知数列[an]满足：[a1=1]，且[nan+1=n+1an]，求[an].

总之，在由递推关系式求数列的通项公式时，要仔细观察数列的递推关系式，将其变形为前后项之差或比值为定值的形式，这样将各项累加或累乘，便能通过正负相消或者约分，快速求得数列的通项公式.