由一道题谈求根式函数值域的方法

求函数的值域问题经常出现在各类试卷中.其中含有根式的函数值域问题较为复杂.解答此类问题，通常需采用合适的方法，如三角代换法、局部换元法、向量法等，将其中的根号去掉，把问题转化为函数最值问题、向量最值问题来求解.下面结合一道典型的例题，谈一谈求根式函数值域的三种方法.

一、三角代换法

对于含有根式的函数，我们往往可以根据同角三角函数的关系式[sin2θ+cos2θ=1]，将根号下的式子用正弦、余弦函数式替换，以通过三角恒等变换去掉根号，将函数式化为三角函数式.再根据正余弦函数的有界性、单调性来求函数的最值，进而确定函数的值域.

二、局部换元法

在解题时，我们可以将根式或根号下的式子用一个新元替换，通过局部换元，将函数式中的根号去掉，进而将问题转化为常规的一次函数、二次函数、反比例函数值域问题，再根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性来解题.

三、向量法

在求根式函数的值域时，我们可以将根式与向量的模、向量的数量积关联起来，构造出合适的向量.然后画出相应的图形，建立向量关系式，根据向量的数量积公式、向量的三角公式来求最值，进而求得函数的值域.

运用向量法的关键在于合理构造向量，并根据向量的数量积、向量加减法法则的几何意义来求出最值.

从多个方面、角度对一道题目的解法进行探究，不仅能拓宽解题的思路，还能锻炼分析问题、解决问题的能力.求根式函数的值域有很多种方法，同学们要尝试从不同的角度入手来寻找解题的方案，以提升学习的效率.