关于脉搏波谐波产生机理、分布特性及相关心率检测方法的研究

关键词：脉搏波;谐波;频谱;心率检测

中图分类号：TP301.6 文献标志码：A

0 引言（Introduction）

脉诊是中医学一种独特而历史悠久的诊断方法，其临床应用在西汉时期就已经发展成熟[1]。根据王唯工教授提出的气血共振理论，脉搏波谐波分别与十二经络及其所属脏腑相匹配，每一个谐波都有其相应的中医临床诊断用途和意义，具体而言，前5个谐波所对应的经络或脏腑依次为肝、肾、脾、肺、胃[2]。在一些动物实验中发现，脏器功能的不同变化与特定的谐波有关[3]。在针灸治疗时，径向脉搏波的谐波分析可以先于一些血液动力学指标或参数出现相应的变化[4]。研究脉搏波谐波产生机理及其基本分布特征具有重要的中西医临床应用价值和意义。在实际应用中，通常通过对脉搏波频谱基频的计算，实现心率参数的检测，但这类方法的检测效果不稳定，因此本文通过实验提出了一种基于脉搏波谐波特性的更为稳定的心率检测方法，此方法也可用于类似的准周期信号。

1 脉搏波谐波研究（Study of pulse wave harmonics）

根据傅里叶变换原理，包括脉搏波在内的所有连续信号都可以分解为若干个不同频率的正弦信号的线性组合，利用离散傅里叶变换对从连续信号中采样处理得到的离散信号进行傅里叶分析。假设某长度为N 的离散脉搏波信号用序列x（n）表示，n=0，1，…，N -1，可以通过公式（1）离散傅里叶变换得到序列的频谱序列：

由图2（b）可以看出，复制并串接后的脉搏波信号频谱在单周期频谱相邻的两个频率之间插入了零值，而偶数索引频率处的幅值为图1（b）所示的2倍。

为了进一步研究脉搏波信号的变化规律，复制3个脉搏波的波形并将其串接在一起，得到理想脉搏波信号的原始波形及其频谱如图3所示。

由图3（b）可以看出，复制3次脉搏波并串接所得信号的频率分辨率变成原始谱频率分辨率的3倍，而且频谱相当于在原始单周期频谱的相邻频率之间插入了两个零值。同时，幅值恰为原来的3倍，频谱幅值与串接波形的个数成正比。以上现象给予我们启发：当复制更多数目的波形并进行串接时，应该存在与图2（b）和图3（b）相类似的频谱分布规律。

实际上，与公式（5）的推导过程类似，将图1（a）所示信号复制m 次再串接所得到的理想脉搏波信号，对其进行离散傅里叶变换，可得到如公式（6）所示的推导过程。

通过以上实验和推导过程可以看出，在时域内将波形复制m 次并进行串接时，对于所得到的理想脉搏波序列而言，与所涉单一周期脉搏波频谱相比，其频谱的频率分辨率有一定比例的提高，并且除各个幅度不为零的幅值及其相邻频率间隔皆变为m 倍外，各个谐波分布皆保持相同的顺序。也就是说，新频谱相当于在原频谱中每对相邻频率之间加了m-1个零，同时对应谐波幅值也增加到m 倍。

1.2 真实脉搏波频谱中谐波分布的特征

从以上实验和分析可以发现，通过波形复制和串接得到的理想脉搏波的频谱呈现出规则的谐波分布规律，谐波的振幅和频谱分辨率都与脉搏波的长度有关。然而在真实情形下，脉搏波并不是规整地对单一波形进行重复复制和串接，其最终得到的频谱应当是许多个非常相似的串接脉搏波波形频谱的叠加，并且相应的谐波幅度所在频率位置相对于彼此，一般都略有偏移。因此，随着波形数目的增加和频率分辨率的提高，在各个谐波附近彼此叠加进而形成波群。虽然理想脉搏波信号的谐波幅值与所含波形的数目成正比，但是因为每个串接的脉搏波不再严格的相同，所以真实脉搏波频谱中的谐波幅值并不会随着波形数的增加而按比例地增加。为了考察真实脉搏波信号频谱中的谐波分布规律，在原来截取的单个周期的脉搏波继续沿着时间轴截取多个周期进行实验，此时截取信号的第一个周期与本文“1.1”节中的单周期相同。其中，截取连续两个周期的真实脉搏波信号及其频谱如图4所示。

对比图4（b）和图2（b）可以看出，真实脉搏波信号的频谱分布特征与两个周期的理想脉搏波的频谱分布特征基本相似，即谐波的基频分布的位置相对幅度的变化规律相一致。显而易见，真实脉搏波的频谱幅值在偶数索引频率点处并不完全为零，这也表明脉搏波实际上不是一个理想的周期信号。

图5和图6分别显示了继续沿着时间轴截取连续3个周期和6个周期的真实脉搏波信号及其频谱。

由图5和图6可以发现，除一些杂波的幅值接近于零外，真实脉搏波的频谱幅值与理想脉搏波的频谱幅值变化规律基本一致，但其相对于复制并串接后的理想脉搏波信号对应的各谐波分量的幅度峰值略有减小，这是由于真实脉搏波具有明显的准周期特性。观察图6（b）发现，在0～1 Hz还存在较大幅值的分量，这是由于该脉搏波存在一定的基线漂移，观察图6（a）也可以明显看出其信号呈现出先下降后上升的漂移趋势。

真实脉搏波与通过复制相同数目的脉搏波波形并串接得到的理想脉搏波序列的频谱中存在相似的谐波分量，这与前面的理论分析结果一致。考虑到脉搏可以看作由心脏的跳动信号沿着时间线不断绵延和准周期重复，再经过血管及器官的影响所形成的，这与上述实验中基于将信号进行周期延拓后进行傅里叶变换的谐波分析方法和过程完全相似。实验中采用傅里叶频谱谐波分析方法所得结论在很大程度上适用于真实脉搏波信号的频谱分析。

图7对应的提取到的脉搏波频谱中谐波频率的分布如表1所示。

表1中各个真实脉搏波信号的谐波数与谐波群中心频率之间的线性关系如图8所示。

从图8中可以看出，脉搏波频谱的谐波数与波群峰值对应的频率之间存在显著的线性相关关系，说明我们的推论是合理的。真实脉搏波的第1谐波是第一个波群的中心频率，与理想脉搏波频谱的第1谐波相对应，而且第1谐波对应了平均心率，同时数据拟合中线性关系的存在表明关于谐波次数所拟合直线的斜率也应对应平均心率。每个波群幅值峰值所在位置对应于每个谐波频率，而且相应谐波分量的频率是心跳频率的整数倍。这也与王唯工提出的气血共振理论的基本结论一致[5]。为了验证此结论的可靠性和适用性，本研究获取858份采样频率为125 Hz的真实脉搏波信号，并求得每份数据的12个谐波群中心频率与谐波数的皮尔森相关系数（PearsonCorrelation Coefficient）。皮尔森相关系数可以反映两个变量的线性相关程度，其值为-1～1，其值越接近1，说明两个变量的线性相关程度越强。表2为858份脉搏波谐波群中心频率与谐波数的皮尔森相关系数分布情况。从表2的数据可以看出，所有数据的皮尔森相关系数都大于0.990且计算出系数的平均值为0.998。该结果进一步证明了上述结论具有普适性。

因此，对于真实的脉搏波，谐波的幅值会随着信号长度的增加（周期个数）而增大。但是，由于脉搏波具有准周期性，每个周期对应的谐波并非完全等同的，从而在频域每个周期对应的各个谐波数据也不完全相等，各周期对应谐波叠加时彼此略有错位，进而在信号频谱中导致谐波群出现。通过对真实脉搏波的相对孤立波群幅度峰值进行定位，证实了真实脉搏波频谱中各个谐波所在位置体现为频谱各个相对孤立波群幅度峰值所对应的频率，并且各个谐波幅度峰值对应频率是呈线性的。即第n 个波群幅度峰值对应频率约为第1波群幅度峰值对应频率（也就是基频）的n 倍，这与理论推导得出的结论一致。

2 基于脉搏波谐波分布规律稳定计算心率（Stableheart rate calculation based on the harmonicsdistribution of pulse）

静息心率是冠心病的预前因素[6]，并且与中风、猝死等非心血管等疾病高度相关[7]。本文针对脉搏波频谱的谐波数与波群峰值位置对应的频率之间存在显著的线性关系的研究，为相对稳定检测心率提供了新的可能。如前文所述，脉搏波信号频谱第1谐波的频率对应平均心率，但由于脉搏波不是理想的周期信号，所以各心动周期所对应的时间间隔和相应的脉搏波波形并不一致，并体现于其各个谐波的幅度和相位变化之中[8]，这使得基于第1谐波的心率检测并不准确。XU等[9]利用了心率信号的高次谐波估计心率和减少呼吸干扰。每个波群幅值的峰值所在位置对应于每个谐波频率，并且其所对应谐波分量的频率是心跳频率的整数倍，那么可以利用每个波群幅值的峰值计算心率。基于本文“1.2”的研究成果，为了探究参与计算的脉搏波谐波数和心率的关系，本文针对5种基于谐波的心率计算方法进行了实验比较，5种计算方法分别为第1谐波频率、谐波线性拟合斜率、线性拟合斜率加上截距、谐波频率加权平均值（Weighted Average of Harmonic Frequencies，WAoHF）和相邻谐波频率平均差（Mean Difference of AdjacentHarmonic Frequencies， MDoAHF）。其中，第1谐波频率、多个谐波线性拟合斜率、线性拟合斜率加上截距所对应的心率值分别由第1谐波频率H、多个谐波拟合斜率a、线性拟合斜率a 加上截距b，即（a+b）乘以60得到，而谐波频率加权平均HR 对应心率数由公式（7）得到，其中H为第n 次谐波。

本研究截取采样率为125 Hz、时长为5 s，共计625个点的脉搏波进行心率计算，对于每段信号计算不同谐波个数对应的上述5种心率，总共计算960段信号，计算每种计算方法在不同谐波数参与下的心率，再以临床测得的心跳数为标准值计算绝对平均误差（Mean Absolute Error， MAE），计算结果如图9所示。

通常，利用频谱计算心率时，主要是通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分，从而找到主要的周期性成分作为心率，即第1谐波的频率。但是，从图9中可以看出，基于第1谐波频率得到5 s平均心率误差为4.526 46 BPM，而且在相较于第1谐波的计算方法，其他4种方法在3～6个谐波参与计算时的MAE明显小于第1谐波主频的结果，但当谐波数目增加到6个之后，误差会都大于第1谐波的心率计算结果。这可能是由谐波位置提取的准确性降低导致的：对于时长为5 s、采样频率为125 Hz的信号，其对应的频域分辨率为125/625=0.2 Hz，对应的心率分辨率为12 BPM，分辨率不高的同时，高次谐波波群不明显且易受噪声影响，难以提取到准确的谐波位置，最终导致心率计算的误差增大。从图9中还可以看出，采用4个或者5个谐波进行计算得到的心率MAE是最小的，而前4个谐波频率加权得到的心率MAE是最小的。除了拟合斜率方法，其他的算法都在第4次谐波之后开始出现MAE逐渐增大的情况。

将脉搏波信号时长增加到10 s，实验结果如图10所示。

10 s的信号频率分辨率为0.1 Hz，对应的心率分辨率为6 BPM。从图10中可以看出，所有方法对应的心率MAE都远小于5 s信号的心率MAE，说明频率分辨率对心率计算的准确性有影响，理论上频率分辨率越高，则计算越准确。图10中，第1谐波计算出的心率MAE为2.042 BPM，可以看出在利用前4 个谐波进行心率的计算时，所获得的平均绝对误差依然最小，为1.011 BPM。并且，通过加权平均算法计算得到的心率MAE一直小于其他算法的心率MAE。由此可以得出，在利用频谱计算短时脉搏波信号的心率时，利用前4个谐波进行加权计算的心率是接近临床真实心率的。此外，这种算法具有广泛的应用潜力，可以运用于各种具有谐波性质的信号中，同时它也为利用各类相关生理信号计算心率的研究提供了新的思路和方向。

3 结论（Conclusion）

对比理想脉搏波和真实脉搏波发现：随着周期个数的增加，理想脉搏波的谐波幅值成比例地增加，而非谐波位置处则不断增加零值。真实脉搏波各个周期相似但不完全相同，导致频谱非谐波处插入相对应周期个数的近零值，谐波处各周期对应谐波彼此错位偏移形成谐波群。脉搏波频谱中，各谐波所在位置体现为各波群幅度峰值所在位置，各个波群峰值对应频率的线性关系证明了该结论。进一步从脉搏波频谱出发对心率进行计算，发现基于前4个谐波加权方法得到的心率更准确和稳定。

作者简介：

陈佳（1999-），男，硕士生。研究领域：医学图像与生物医学信号处理。

王思研（1992-），女，硕士生。研究领域：医学图像与生物医学信号处理。

顾金联（2003-），男，本科生。研究领域：医学图像与生物医学信号处理。

陈兆学（1975-），男，博士，副教授。研究领域：医学图像与生物医学信号处理。本文通信作者。