从特殊的积与商突破填聪明数格

小朋友，前几期中，我们介绍了3×3和4×4的加减法聪明数格的填写，知道“已知数”和“特殊的和与差”是填写这种谜题的突破口。其实，实线框中左上角的数也可以是这个框中两个数的积或商。下面，我们一起来学习4×4混合聪明数格的填写。

例题1 图1是一个4×4的混合聪明数格。你能在空格内填入1～4，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和、差、积或商吗？

为了便于叙述，我们先给实线框涂上底色（如图2），同时把实线框中只有一个数的填好。

橙色区域左上角的“4×”表示这个框中两个数的积是4，只能是1×4＝4，橙色区域中的两个数是1和4，但不能确定1和4的位置。绿色区域中左上角的和是6，只能是2＋4＝6，绿色区域中的两个数是2和4，因为第1列中已经有4，所以绿色区域要填成左2右4（如图3）。

蓝色区域左上角的差是2，因为3－1＝2，4－2＝2，所以蓝色区域中的两个数可以是1和3，也可以是2和4。因为第3行中已经有2，所以蓝色区域中的两个数只能选择1和3。因为第1列中已经有1，所以蓝色区域中的两个数应填成左3右1（如图4）。

根据每行中的数不重复，第3行中已经有1，2，3，可知第3行紫色格中的数是4，另一个紫色格中的数是4－2＝2。根据每列中的数不重复，第4列中已经有2，3，4，可知第4列黄色格中的数是1，另一个黄色格中的数是3÷1＝3（如图5）。

灰色区域左上角的和是4，只能取1＋3＝4，灰色区域中的两个数是1和3，因为第2列中已经有1，所灰色区域要填成左3右1。剩下空格可根据每个数在每列、每行中都不重复填出，粉色区域应填成左2右4，橙色区域应填成上1下4。最终的答案如图6所示。

例题2 图7是一个4×4的混合聪明数格。你能在空格内填入1～4，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和、差、积或商吗？

为了便于叙述，我们先给实线框涂上底色，同时把实线框中只有一个数的填好（如图8）。

灰色区域左上角的商是4，只能是4÷1＝4，灰色区域中的两个数是4和1，但不能确定4和1的位置。根据每行中的数不重复，第4行中已经有1，2，4，可知第4行粉色格中的数是3，另一个粉色格数的数是3－2＝1。橙色区域左上角的积是4，只能是1×4＝4，橙色区域中的两个数是1和4。因为第3行中已经有1，所以橙色区域要填成上1下4（如图9）。

紫色区域左上角的积是12，只能是3×4＝12，紫色区域中的两个数是3和4。因为第3行中已经有4，所以紫色区域要填成上4下3。根据每行中的数不重复，第3行中已经有1，3，4，可知第3行蓝色格中的数是2，另一个蓝色格中的数是6÷2＝3（如图10）

根据每行中的数不重复，第2行中已经有1，3，4，可知第2行黄色格中的数是2。根据每列中的数不重复，第2列中已经有1，2，3，可知另一个黄色格中的数是4，黄色格中4除以2的商正好是2（如图11）。

灰色区域中的两个数是4和1，因为第4列中已经有4，所以灰色区域要填成左4右1。根据每列中的数不重复，第3列中已经有2，3，4，可知第3列绿色格中的数是1，另一个绿色格中的数是2÷1＝2。最终的答案如图12所示。

例题3 图13是一个4×4的混合聪明数格。你能在空格内填入1～4，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和、差、积或商吗？

为了便于叙述，我们先给实线框涂上底色（如图14）。这个聪明格中没有已知数，可以从特殊的和、差、积或商来突破。

灰色区域左上角的和是7，只能是3＋4＝7，灰色区域中的两个数是3和4。蓝色区域中左上角的积是3，只能是1×3＝3，蓝色区域中的两个数是1和3。因为第4行中已经有3，所以蓝色区域应填成上3下1。根据每行中的数不重复，第4行中已经有1，3，4，可知第4行白色格中的数是2，另一个白色格中的数是2÷2＝1（如图15）。

橙色区域左上角的积是4，只能是1×4＝4，橙色区域中的两个数是1和4。因为第2列中已经有1，所以橙色区域要填成左4右1。根据每列中的数不重复，第1列中已经有1和2，可知黄色区域中的两个数是3和4。又因为第1行中已经有4，所以黄色区域要填成上3下4（如图16）。

根据每列中的数不重复，第2列中已经有1，3，4，可知第2列粉色格中的数是2，另一个粉色格中的数是5－2＝3。灰色区域中的两个数是3和4，因为第3列中已经有3，所以灰色区域要填成左4右3（如图17）。

紫色区域左上角的和是6，只能是2＋4＝6，紫色区域中的两个数是2和4。因为第3列中已经有4，所以紫色区域要填成左2右4。根据每行的数不重复，可知绿色区域应填成上2下1，绿色区域中2与1的差正好是1。最终的答案如图18所示。

小朋友，你有没有发现，在4×4混合聪明数格中，积4只能是1×4＝4，积3只能是1×3＝3，积2只能是1×2＝2，商4只能是4÷1＝4，商3只能是3÷1＝3，商2有两种情况，可能是4÷2＝2，也可能是2÷1＝2。也就是说，在4×4混合聪明数格中，牢记这些特殊的积与商，有助于我们快速地进行填写。

怎么样，你学会了吗？下面你来填一填图19～图24的4×4混合聪明数格吧！

填写要求：在空格内填入1～4，使得每个数在每行、每列中都不重复，且每个实线框中左上角的数正好是这个框中其他数的和、差、积或商。