从唤醒活动经验到认识数学本质

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学活动促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验;培养学生良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观，逐步形成核心素养。活动经验的获得和再利用，对于学生知识体系的建构具有重要的价值，能更好地发展学生的核心素养。

一、背景介绍

笔者曾作为评委参加了某高校主办的省骨干教师培训活动的最后环节——微型课展示活动。展示活动中，教师更多关注的是知识点是否顺畅讲完、练习题是否有针对性等，没有将问题设置作为教学设计的核心或者问题设置时没有将唤醒学生的活动经验作为切入点。活动经验没有被唤醒和再利用，就难以很好地落实“化新知为旧知”，学生自然也无法顺利理解数学的本质。

美国数学家哈尔莫斯说过，问题是数学的心脏。有了问题，数学思维才有方向；有了问题，数学思维才有动力。那么，如何才能设计出“有方向、有动力”的问题呢？笔者认为，唤醒活动经验是一种行之有效的策略。本文以“图形的旋转”为例，谈谈如何通过问题设计来唤醒学生的活动经验，从而认识数学本质。

二、案例分析

“图形的旋转”探究活动如下：

如右图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A'B'C'），移开硬纸板。

教师A设计的问题如下：

（1）△A'B'C'可以看作△ABC经过怎样的运动得到的？

（2）△A'B'C'和△ABC的形状和大小有什么关系？

（3）线段OA和OA'有什么关系？∠AOA'和∠BOB'有什么关系？

（4）你还能发现哪些有类似关系的线段和角？

教学分析：第一个问题价值不大，第二个和第三个问题与教材一样，第四个问题体现了教师的教学智慧，具有一定的开放性。学生可以进一步体会对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，为得到一般性的结论即旋转的性质进行了较好铺垫。

教师B设计的问题如下：

（1）△A'B'C'可以看作△ABC经过怎样的运动得到的？

（2）△A'B'C'和△ABC的形状和大小有什么关系？

（3）△ABC和△A'B'C'的对应点与旋转中心的连线有何数量关系和位置特征？

教学分析：第一个和第二个问题不再赘述，第三个问题与教师A的第三个和第四个问题相比较，难度增大了，学生要先观察，找出相应线段和相应角，再分析、比较、评价，从而得出结论。特别是“对应点与旋转中心的连线位置特征”，这个问题的答案学生不易获得，也就是说，学生的活动经验不足以支撑解决此类问题。

曾经有位青年教师C讲同一课题的优质课，在两次试讲失败后，她向笔者求助，下面是我们的对话片段：

教师C：我也知道类比平移和轴对称来学习旋转，但是为什么学生类比不出来旋转的性质呢？

笔者：你是怎么类比的？

教师C：我让学生回顾平移和轴对称的性质，通过数学实验（课本探究），类比尝试说出旋转的性质。当然没有出示教材中的问题即△A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的，线段OA与OA'有什么关系？∠AOA'与∠BOB'有什么关系？△ABC 与△A'B'C'的形状和大小有什么关系？

三、教学反思

正如教师C所述，学生想不出来的理由很简单，他们缺乏研究图形变换的“脚手架”，教师没有唤醒学生学习平移和轴对称的活动经验，因此他们不知道如何类比学习旋转。《义务教育数学课程标准（2022年版）》初中部分图形与几何领域的教学提示指出，知道变化的感知是需要参照物的，可以借助参照物述说变化的基本特征。这里的参照物可以理解为我们所说的旋转三要素：旋转方向、旋转中心、旋转角。那么，我们该如何借助旋转的要素来研究旋转的性质呢？

四、教材分析

平移的性质：（1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。（2）成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。

很明显，它们的第一条性质研究变换前后图形的形状和大小关系，属于整体描述，第二条性质对应点连线互相平行（位置关系），这与平移方向是一致的，对应点连线都相等（数量关系），这与平移距离是一致的，属于局部描述。

归纳一下，图形的变换主要研究两点：（1）变换前后图形的形状和大小。（2）变换前后对应点与参照物（要素）之间的数量关系和位置关系。学生如果能被教师唤醒学习平移和轴对称的活动经验，那么旋转性质的获得自然水到渠成。“旋转前、后的图形全等”符合第一条性质，“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”符合第二条性质。具体理解为：“对应点到旋转中心的距离相等”是对应点与要素的数量关系，“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”是对应点与要素的位置关系。

五、教学再反思

活动经验是学生的财富，它的价值在生活中无时无刻不在发挥作用。教师要善于让学生去总结活动经验，并在此基础上加以引导和点拨。

在研究具有相同或相似特征的事物时，要善于唤醒学生的活动经验，运用类比这把“钥匙”去学习同一领域同一主题的内容，在教学中将方法论进一步上升为一般观念，从而让学生领悟数学的本质。

活动经验的获得过程不仅需要记忆、理解、应用，还需要分析、评价和创新。活动经验的唤醒和再利用，能有效促进学生知识体系的建构和思维品质的发展。

（本文系2023年河南省基础教育教学研究项目“经历式学习在初中数学教学中的实践研究”的研究成果，课题编号：JCJYC2303070007）

（责 编 黎 洁）