多元设计习题，优化学生学习

［ 摘 要 ］在小学数学教学中，教师要精心设计习题，通过形成性习题、变式性习题、延伸习题、创新性习题等促进学生知识建构、思维发展、学力提升、素养生成。教师要以习题为载体，引导学生进行数学知识建构、结构和创造。

［ 关键词 ］ 小学数学；结构化习题；设计与应用

习题是数学教学的重要组成部分，是对学生数学学习样态、成效的有效反馈 ［1］ 。部分教师注重新授课的教学，忽视对学生数学习题的设计，导致学生的数学习题重复化、机械化、肤浅化。有的教师将教材、教辅资料 （包括补充习题、课课练等） 中的相关习题直接拿来使用，这样的习题设计严重影响、制约了学生数学学习效能。立足于“双减”，教师要精心设计结构化的习题，以习题为载体，引导学生进行数学知识建构、结构和创造。

一、形成性习题：促进学生知识建构

形成性习题类似于教材中的“例题”。“例题”是编者安排在教材中的典型习题，往往因为“单一”需要补充和丰富。形成性习题可以是一道习题，也可以是一组习题。教师要通过形成性习题促进学生对数学知识的自主性建构，引导学生从多个方面、多个层次来建构数学知识，感悟蕴含在知识中的数学思想方法、文化精神等。形成性习题能优化学生的思维品质，教师要注重提炼形成性习题中的思想、方法，发掘形成性习题的育人功能，彰显形成性习题的育人价值。

比如教学“比的基本性质”这一部分内容时，教材例题仅呈现了整数比、分数比和小数比的化简。这对于作为学科知识的“化简比”来说，显然是残缺的。为了让学生对化简比的方法有更深刻的领悟，笔者在教学中补充了一些习题。比如化简比：①25∶0.4；②25∶2/3 ；③0.4∶ 2/3 ；④0.6公顷∶340平方米。

通过这样的习题，能让学生认识、掌握“混合比”的化简、前项和后项是不同单位的数量的比的化简，建构丰富的、完整的化简比的方法、策略，认识“化简整数、小数和分数的混合比”的方法、“化简有计量单位的比”的方法，从而进一步完善学生的数学认知结构。

教学中，教师要引导学生总结一般的化简比的规律：比的前项和后项如果有分数和小数，能化成有限小数的化成有限小数，不能化成有限小数的就将小数化成分数；比的前项和比的后项如果数量单位相同，就可以直接化简；如果比的前项和后项数量单位不同，就要将不同的数量单位化成相同的数量单位。这样的概括、总结能深化学生对“化简比”的方法、策略的认知。在引导学生化简比的过程中，教师既要让学生依据比的基本性质来化简比，又要允许学生用“求比值”的方法来化简比。

形成性习题是一组具有关联性的习题，但它不是题目的简单拼凑，而是在数学本质或者数学思想方法统摄下具有结构性、关联性、系统性的好题组合。教师要精心设计形成性习题，并引导学生积极实践。

形成性习题能引导学生自主建构相关知识，能为学生后续巩固和深化认知奠定坚实的基础。

二、变式性习题：促进学生思维发展

在设计数学习题的时候，教师不仅要立足于教材，对教材的单一性例题进行丰富、补充，而且要立足于学生的数学素养的发展，设计相关的灵活性、变式性的习题，促进学生的数学思维、认知的发展。在数学教材中，很多习题是一些基础性习题，教师要拓展、衍生学生的数学思维就必须设计相关的变式性习题。变式性习题不仅要求变，而且要求联、求新。在教学中，教师可以采 用 “ 一 题 多 变 ”“ 一 题 多 解 ”“多题比较”等方式，来训练学生对相关数学知识灵活处理的能力。

变式性习题的设计要秉持“少而精”的原则，在求“变”上下功夫、做文章：可以变化习题的内容，也可以变化习题的形式，还可以变化习题的呈现方式等。变式性习题不仅要生成学生的解决问题的技能，更要融入、渗透相关的数学思想方法。相较于“解题之术”，“解题之道”更应成为教师习题设计的追求。教师要通过引导学生完成变式性习题，让学生在解决相关数学问题的时候能举一反三、触类旁通。

比如教学“分数乘法中的分配律”这一部分内容时，教材中呈现的习题基本上是“千篇一律”的，习题中所有的数都是分数。为了让学生的习题实践步入思维领域，笔者将其中的一些分数“改头换面”变成小数。这样就能让习题富有挑战性，激发学生的数学学习兴趣，调动学生数学学习的积极性。比如：①6/7 × 0.8 +1/7 ×4/5 ；②6/7 × 0.8 +1/7 ÷5/4 ；③6/7 × 0.8 +1/7 × 80%；④4/5 ×0.3 + 4/5 × 0.2 +4/5 × 0.5。

这样一组变式性习题能不断刷新学生的认知视界，使学生的思维在变式性习题中被不断拓展。此外，教师可引导学生进行变式性习题设计，两人一组，相互出题、解题、答题，让学生的习题不再枯燥无味。变式性习题不仅能深化学生的认知，而且能激发学生的情感，培育学生形成良好的解题品质，解放学生的解题行为。

变式性习题发散了学生的思维、想象。教师要积极拓展学生的习题形式、习题方式，要丰富学生的习题内容。借助变式性习题引导学生不断地创新，就需要教师在变式性习题教学中重点锤炼学生的数学思维，不断提升学生的思维品质。通过变式性习题，学生能真正掌握相关的数学思想方法。

三、延伸性习题：促进学生学力提升

延伸性习题要着眼于学生的学习力的提升。延伸性习题不是数学习题“量”的增加，而是数学习题“质”的增强 ［2］ 。这种“质”瞄准的是数学知识学习的重点、难点，尤其是聚焦难点。同时，教师通过这种延伸性习题引导学生突破自我的思维障碍、困惑、问题，能让学生的数学学习力不断进阶。教学中，教师要瞄准学生数学学习的“最近发展区”，通过设计、实施延伸性习题，让学生的数学学习不断从“现实水平”过渡、提升到“可能水平”。教师要借助延伸性习题，让学生在数学学习中不断“跳”，不断摘到新的“桃子”。

在设计延伸性习题的过程中，教师要不断优化习题，不能让习题成为同一水平重复训练的过程，既要让优等生“吃得饱”，又让学困生“吃得了”。因此，教师可以对延伸性习题进行分层设置，对不同的学生设计不同的延伸性习题，让延伸性习题富有针对性、实效性。比如教学“分数乘除法应用题”这一部分内容之后，笔者针对学生的具体学情，设计了“抓住不变量”“单位‘1’的量巧转化”等相关主题的延伸性习题。这样的习题渗透了抓不变量思想、对应思想、转化思想、数形结合思想等，促进了学生解决稍复杂分数乘除法应用题的能力，增强了学生分析问题、解决问题的能力。

比如“抓住不变量”的主题延伸性习题，习题1：加工一批零件，已经加工的与零件总个数的比是1∶3。如果再加工15个，已经加工的零件数与剩下的零件数相等，这批零件共有多少个？

习题 2：修一段路，已修的路程是未修的路程的1/3 。如果再修30千米，已修的路程就是未修路程的1/2 ，这段公路全长多少千米？

习题 3：在阅览室看书的学生中，女生占 60%。一段时间之后，从阅览室走出 5名女生，剩下的女生占总人数的4/7 ，阅览室一共有多少名学生？

习题4：在200克浓度为10%的盐水中加入50克水之后，盐水的含盐率是百分之几？

这样的一组习题立足于“抓不变量”思想，教师要引导学生基于不同的知识进行分析：“习题1”是将比转化成分率，“习题 2”是将“旧分率”转化成“新分率”。“习题1”和“习题2”有一个共同点，都是“总数”为不变量，要将“总数”看作单位“1”；“习题3”是男生人数没有发生变化，则将男生人数看作单位“1”；“习题4”是盐没有发生变化，水、盐水等都相应地发生了变化，并且“习题 4”是百分数应用题。通过这样的一组习题，拓展了学生对“不变量”的认知，让学生能深刻理解“不变量”的意义，进而能在解决问题的过程中积极主动地从“不变量”的视角来思考、探究。延伸性问题提升了学生的数学学习力。

四、创新性习题：促进学生素养生成

创新是一个民族的灵魂，是一个民族兴旺发达的不竭动力 ［3］ 。在小学数学习题设计的过程中，教师要注重引导学生创新，培育学生的创新意识，提升学生的创新能力。在教学中，教师要对学生的数学学习模块进行深度分析，找准学生数学问题解决的本质性要素、关联性要素等。在设计教学中，教师要秉持开放性、循序渐进性的原则，由具体到抽象，引导学生对相关问题开展多向度、多层次的思考、探究，不断开掘学生的创新性潜质、潜能。

史宁中教授认为创新能力的发展依赖于三个方面：知识的掌握、经验的积累、思维的训练。因此，学生创新性能力的培育要依靠教师的教学策略。教学中，教师不仅要创新习题内容，更要创新习题形式，设计一些多结果的、有趣味性的活动，培育学生的想象力、创造力。创新性习题的设计能让学生的数学课堂学习焕发生命活力，能让学生的数学课 堂 学 习 充 满 智 慧 。 比 如 教 学“用数对确定位置”这一部分内容的时候，笔者不仅设计了基础性习题、拓展性习题，还设计了创新性习题。创新性习题会让学生的数学学习蕴含着智慧。

习题1：用数对表示教室中第3行学生的位置；

习题2：用数对表示教室中第4行学生的位置；

习题 3：用数对表示位于教室中对角线上的学生的位置；

习题 4：用数对表示行数比列数多2的学生的位置；

习题 5：用数对表示全班学生的位置。

这样的一组习题突破了常规的用数对表示某一位具体学生的位置的方式方法，逐步引导学生用抽象的、符号性的数对来表示一个学生群体的位置，来表示一个关系性学生群体的位置，来表示全班学生的位置等。这样的创新性习题能逐步发展学生的抽象性思维，引导学生积极投身于数学思考、探索活动中。

创新性习题能唤醒学生做题的热情和激发学生探究的愿望。设计创新性习题要注意诱导性、启发性，让创新性习题能有效引导、点拨学生。创新习题设计能深度彰显数学价值，深度发掘学生的数学学习潜质。

在教学中，习题占据着重要的地位，教师应成为学生习题的设计者、引领者、实践者。习题的设计是一项富有挑战性的工作，直接影响着教师教学质量的高低，直接影响着学生数学学习的整体性效能。

教师要认真研读教材，深入研究数学知识的本质、特质等，根据学生的具体学情，观照学生的水平差异、能力差异，设计形成性、变式性、延伸性、创新性习题；教师要不断对习题进行打磨，对习题进行适度调整、组合、补充等，让习题满足学生的数学学习、学力提升的需要。

参考文献：

［1］朱小平，魏光明 . 儿童悟得：探索与联结数学世界的通途［J］.江苏教育研究，2015（35）：30-34.

［2］吴存明 . 高品质学习任务的内涵、设计与实施 — —以小学数学为例［J］. 上海教育科研，2022 （03）：76-80.

［3］朱希萍 . 结构化视域下的良构型问题解决复习课教学探索［J］.教学月刊 小 学 版 （数 学）， 2021 （12）：47-49.