以学科促整合，以问题促思考

［摘 要］在小学数学综合实践活动“体育中的数学问题”一课中，研究者将多学科知识整合在一起，通过创设问题情境来培养学生的综合能力。

［关键词］学科整合；主题活动；问题情境；体育中的问题

学生生活的世界是多元的，他们要通过学习学科知识实现学会求知、学会做事、学会共处和学会生存。因此，笔者根据学生的已有知识经验和生活经验设计了综合实践主题活动“体育中的数学问题”一课，创设世界杯比赛的教学情境，衍生出“一共比赛几场、积分可能是多少、一共要进行几场淘汰赛”等数学问题，让学生在探索与互动中学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界。

一、以体育活动为情境，培养学生提问能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“四能”是指发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。教师以学生熟悉的体育活动“世界杯”作为综合实践主题学习课的教学情境，能快速拉近师生之间的距离，让学生对数学学习产生亲近感。在课堂开始时，教师引导学生提出有关世界杯中的数学问题，并快速进行数学思考，提出很多具有价值的数学问题。

师：同学们，体育中有很多竞技比赛活动。你们知道哪些体育竞技比赛？

生1：有足球赛、排球赛、篮球赛、世界杯、游泳比赛……

师：每一种体育运动在比赛中体现出“更快、更高、更强、更团结”的精神。看，这是2018年的世界杯比赛。同学们，我们今天就来研究“体育中的数学问题”。请想一想世界杯比赛中藏着什么数学问题？

生2：世界杯一共有多少个国家参加比赛？

生3：要决出最终的冠军，一共要打多少场比赛？

生4：每次踢球的时候，我们要计算自己队和其他队得了多少分，还要再得几分才能从小组出线？

师：世界杯有那么多的数学问题，这节课我们就选一些数学问题来研究。

在这个教学片段中，教师通过学生感兴趣的话题引出许多数学问题，让学生围绕这个话题学会从不同角度提出数学问题，并对这些问题进行探索和多元思考，从而形成积极的情感、态度与价值观。

二、聚焦单循环赛问题，培养学生多元表征

数学中的多元表征包括符号表征、语言表征、动作表征、情境表征、画图表征等多种表征，这些表征能体现学生用显性化的方式呈现自己的思考过程，有利于他们加深对数学知识的理解和掌握，也有利于他们构建结构化的数学思维体系。教师引导学生解决“世界杯比赛一共要踢多少场”的问题时，让学生先把这个复杂的问题转变成“一组4支球队要比赛多少场”，再思考“32支球队要比赛多少场”，学会把问题化繁为简和多元表征问题的结果。

师：同学们，我们先来解决“世界杯比赛一共要踢多少场”这个大问题，你们觉得解决这个问题需要哪些条件？

生1：我们要知道有多少支球队参加这届世界杯比赛，还要知道其赛制是怎样的。

师：老师告诉你们，这次有32个国家参加比赛。刚才有同学说到“赛制”，我们一起来看看世界杯的比赛规则：第一轮是小组赛，32支球队通过抽签分成8个小组，每个小组进行单循环比赛，每两支球队比赛一场。胜、平、负分别积3、1、0分；第二轮是淘汰赛，每个小组积分前两名的球队胜出进入淘汰赛，直到冠军产生。同学们，你们能看懂世界杯的比赛规则吗？

生2：先是预赛，预赛分成几个小组，小组内单循环比赛，每个小组选出前两名；然后是决赛，确定冠军球队。

师：刚才说的“单循环比赛”就是每两支球队要进行一场比赛。

看，这是2018年俄罗斯世界杯比赛的分组情况，32支球队一共要进行多少场小组赛？具体是哪些比赛场次？

生3：先算出每个小组要比赛多少场，再乘8个小组就可以了。比如说我们先算出阿根廷、冰岛、克罗地亚、尼日利亚这四支球队所在的小组一共要比赛的场次分别是：阿根廷和冰岛、阿根廷和克罗地亚、阿根廷和尼日利亚，冰岛和克罗地亚、冰岛和尼日利亚、克罗地亚和尼日利亚，一共有3+2+1=rOi2M+04PxtxcGv2Ztil1hZ7HjsNgorA1uCs4eP8iDY=6（场）；这届世界杯一共有8个小组，所以总的小组赛场次是6×8=48（场）。

师：大家同意吗？生3不仅告诉我们每个小组赛是6场，还告诉我们是哪六场比赛。我们在记录的时候要做到不能重复，也不能遗漏。你们能把刚才说的这6场比赛在黑板上用磁铁有条理地摆出来，并用连线的方法记录吗？

学生在黑板上摆好后，并用线连起来。

师：刚才我们用文字、画图的方式将所有的比赛场次全部列举出来了，还用算式表示了结果。我们可以先用对阵表把所有的比赛场次都列举出来，然后用打勾的方式表示要比赛的场次。

在这个教学片段中，学生面对这些复杂的数学问题，尝试将其化解为多个数学问题，并借助直观的操作活动抽象出文字、连线和算式表示等方法，深刻地理解单循环比赛的计算方法。

三、聚焦计算积分问题，培养学生有序思考

有序思考有助于学生在解决数学问题时按照一定的标准进行思考，做到不重复、不遗漏。有序思考本质上是利用分步计数原理和分类计数原理解决数学问题，有助于学生形成严谨的数学思维品质。

师：刚才我们说小组比赛的积分制是赢了积3分，踢平积1分，输了积0分。克罗地亚队踢完一场球，可能积多少分？

生1：有3种情况，克罗地亚队如果赢了得3分，如果踢平了得1分，如果输了得0分。

师：如果克罗地亚队踢完两场球，最多得多少分？

生2：最多得6分，这两场球他们都赢了。

师：如果他们两场球都输了，就是0分。那么6分到0分之间一共有多少种不同的得分情况？用“√”表示比赛场次，每列只画两个“√”，请大家在表格里全部记录下来。（学生独立完成）刚才这位同学提的问题很好，如果两场都赢了，两场都平，两场都输，怎么打勾？我们可以在一个方格里打两个勾。

生3：如果两场都赢了，得6分；如果两场都平，得2分；如果两场都输了，得0分；如果一场赢一场平，得4分；如果一场赢一场输，得3分；如果一场平一场输，得1分。一共有6种情况。

在这个教学片段中，学生用有序思考解决“踢完两场球可能得几分”的问题。学生采用的表格记录方式直观简洁，比赛结果一目了然。

四、聚焦淘汰赛问题，培养学生一题多解

“一题多解”是指学生用多种方法解决同一道数学题目。在平时的练习中，通过一题多解可以拓宽学生的数学思维，提高他们灵活解决数学问题的能力。

师：每组积分前两名的队胜出进入下一轮比赛叫淘汰赛，现在我们一共有8个组（16支球队）进行比赛，从第二轮淘汰赛到最终决出冠军，一共要比赛多少场？世界杯淘汰赛的规则是A组的第一名和B组的第二名进行比赛，B组的第一名和A组的第二名进行比赛，你们能在学习单上把所有的比赛对阵图画出来吗？画完以后数一数有多少个大括号，有多少个大括号就有多少场比赛。

生1：我觉得是14场。

生2：我觉得应该是15场。现在16支队伍，每两支队伍打一场比赛，赢的就晋级进入前八强，留下的队伍是16÷2=8（支）；前八强每两支队伍打一场比赛，赢的就晋级为前四强，留下的队伍是8÷2=4（支）；前四强每两支队伍打一场比赛，赢的就晋级为前两强，留下的队伍是4÷2=2（支）；两支队伍再打一场比赛，就决出1个冠军了。一共是8+4+2+1=15（场）。

生3：我的答案也是15场。我是这样想的：有16支队伍参加比赛，最后留下1支队伍是冠军，那么必然要淘汰掉15支队伍。比赛1场，就淘汰掉1支队伍；那么淘汰15支队伍，就要比赛15场。

师：这两位同学的方法都不错，我们只要数一数有多少个大括号就知道要比赛多少场。（出示2018年俄罗斯世界杯淘汰赛对阵图）实际上世界杯还有一场淘汰赛是争夺第三名季军，这场比赛加在下面。所以要决出冠军需要15场再加上争夺第三名的这1场，一共16场。

在这个教学片段中，面对同一道淘汰赛问题，有的学生采用正向的画图来解决，有的学生采用逆向的说理来解决。不同的解题思路交织在一起活跃了课堂氛围，能促使学生从数学本质上更好地理解淘汰赛问题。同时，教师结合世界杯淘汰赛赛制的补充情况，能让学生看到数学与真实情境之间的不同。

五、以互动游戏为载体，培养学生应用能力

互动游戏不仅能丰富学生参与数学课堂的形式，激发他们的学习兴趣；还能锻炼学生的合作能力，让学生与同伴之间一起愉快地学习数学。教师借助“模拟世界杯”设计了互动游戏，让学生亲身经历淘汰赛的过程。同时，教师非常注重培养学生解决问题的能力，巧妙地设计了两道对比题目，让学生用多元表征辨析解题的过程。

师：接下来，我们来玩互动游戏——模拟世界杯。游戏规则是每组用“剪刀石头布”的方法决出前两名，一共8个组。16支队伍按照黑板上的图分别站在大力神杯左右两边，赢的留下输的回去，最后胜利的赢得大力神杯，可以吗？

学生先在小组内决出前两名，再参加班级活动。

师：现在我们回过头来思考一下，第一轮叫小组赛，有48场比赛；第二轮叫淘汰赛，有15场比赛，再加上1场季军赛，可以算出世界杯一共比赛多少场？

生1：48+15+1=64（场）。

师：球员们踢完球后要相互握手告别和互赠礼物。请你们拿出学习单，自己做一做。（出示题目：（1）A、B、C、D四名球员每两人握手一次告别，他们一共握手多少次？（2）A、B、C、D四名球员互相赠送一件礼物作为纪念。四个人一共送了多少件礼物？）

生2：第（1）题是3+2+1=6（次），因为A要和3个人握手，B要和2个人握手，C要和1个人握手。第（2）题是3+2+1=6（件），因为A要送给3个人礼物，B要送给2个人礼物，C要送给1个人礼物。

生3：第（2）题我不同意，题目是说“互相赠送”，意思是说“A送给B礼物”和“B送给A礼物”是不一样的，所以单向赠送是6件，互相赠送是6×2=12（件）。

在这个教学片段中，教师通过互动游戏和对比练习帮助学生巩固“单循环比赛”和“淘汰赛”这两种赛制的不同解决方法，促使学生能更好地在理解题意的基础上通过画图解决问题。

总之，生活中处处都有数学，教师要引导学生用数学的眼光看世界和发现身边的数学。在这节数学课中，学生一直处于主动学习中，从提出问题到解决问题，从独立思考到小组合作，从互动游戏到对比练习，他们发现了“单循环比赛”和“淘汰赛”之间的联系和区别：两者都可以用操作、画图和算式等多元表征的方法来解决，但是两者的计算方法不同。在这节数学课中，学生一直处于积极思考中，共同解决了“世界杯一共比赛多少场”的数学问题，掌握了有序思考的方法，培养了严密的数学思维。