经历探究过程，发展推理意识

［ 摘 要 ］为了让学生经历探究过程，发展推理意识，研究者以“有趣的乘法计算”为例，让学生在探究活动中经历猜想、验证、归纳、运用等过程，逐步培养他们的独立思考、逻辑推理以及解决问题的能力。

［ 关键词 ］乘法计算；探索规律；推理意识

基于培养学生核心素养的数学教学，探究式学习与推理意识的培养已成为数学课堂的主旋律。在小学数学教学中，教师通过设计富有挑战性的问题情境，引导学生主动参与解决问题的过程，不仅能够帮助他们深入理解数学知识，更能有效发展其批判性思维、创新意识以及解决问题能力。

一、探究两位数与11相乘的乘法规律

教材的第一个环节是引导学生探索两位数乘11的计算规律。教师要求学生先用竖式计算24×11、53×11、62×11的积，将乘积的每位数字与原来的两位数进行比较，在比较中初步发现：当一个两位数乘以11时，乘积的个位就是原来两位数的个位数，乘积的百位就是原来两位数的十位数，而乘积的十位就是原来两位数个位与十位上的数相加的和；然后，让学生应用发现的规律完成一组两位数乘11的计算，并用竖式计算进行验证。由于这一系列计算中有两道题原来两位数个位与十位上的数相加后满10了，所以乘积对应的十位、百位数字也发生了变化。通过这组试题的计算以及相应的讨论和交流，学生可以进一步加深对两位数乘以11的计算规则的理解。

1.观察现象

师：（课前播放《最强大脑》的微视频）同学们，看了这个视频，你们有什么想说的？

生1：我觉得他们算得好快，一眨眼就算出结果了。

师：最强大脑用的是心算，通过这节课的学习，你们也能拥有最强大脑的超能力。同学们，在两位数乘两位数的计算中，有很多有趣的规律。（出示乘法算式：24×11、53×11、62×11）老师和你们比一比，老师用心算，你们用竖式计算，看看谁算得快？（教师已经做完3道题，很多学生连1道题都没算好）你们可以用计算器来检查一下老师做的题。

生2：24×11=264，53×11=583，62×11=684。

2.建立猜想

师：同学们，请你们仔细观察三个算式的乘数，你们发现了什么？

生3：我发现三个算式都是两位数乘11。

师：我们看24×11=264、53×11=583、62×11=684三个算式的结果，你们发现得数的个位、十位和百位是怎么得来的？你们能结合乘法算式来具体说说吗？

生4：比如24×11，得数的个位是4乘1，得数的十位是2加4，得数的百位是2乘1；53×11，得数的个位是3乘1，得数的十位是5加3，得数的百位是5乘1；62×11，得数的个位是2乘1，得数的十位是6加2，得数的百位是6乘1。

师：你能用一句话来概括两位数乘11的规律吗？

生4：我发现两位数乘11，乘积的个位就是原来两位数的个位数，乘积的百位就是原来两位数的十位数，乘积的十位就是原来两位数个位与十位上的数相加的和。

3.验证猜想

师：是不是所有的两位数乘11都有这样的规律？请你们根据刚才的发现算一算23×11、64×11、59×11，并通过竖式计算验证结果。谁来说说你是怎么计算的？

生5：23×11=252，得数的个位是2乘1是2，得数的十位是2加3是5，得数的百位是2乘1是2；64×11=704，得数的个位是4乘1是4，得数的十位是6加4是10，得数的百位是6乘1是6，十位满10要向百位进1；59×11=649，得数的个位是9乘1是9，得数的十位是5加9是14，得数的百位是5乘1是5。

师：这些结果和计算器得数一样吗？

生（齐声答）：一样。

师：谁再来总结一下两位数乘11的规律吗？

生6：我发现了两位数乘11，乘积的个位就是原来两位数的个位数，乘积的百位就是原来两位数的十位数，乘积的十位就是原来两位数个位与十位上的数相加的和。

生7：我还有补充，我发现哪一位满10就向前一位进1。

在教学中，教师巧妙地用一段微视频吸引学生的注意力，引发他们对乘法计算的兴趣。为了促使学生深入探究两位数乘11的计算规律，教师组织学生开展比赛活动，鼓励学生通过观察、思考和验证来发现规律，这样不仅激发了学生的主动性，还培养了他们的逻辑思维能力和科学探究精神。随着探究的深入，学生不断验证自己的猜想，有的学生通过举例来检验猜想的正确性，有的学生通过逻辑推理来完善自己的猜想。在这个推理的过程中，学生不仅学到了数学知识，还学会了科学探究、发现问题、提出问题和解决问题。

二、探究十位相同且个位和是10的乘法规律

教材的第二个环节是引导学生探索十位相同且个位上的数相加都等于10的两个两位数相乘的计算规律。教师继续引导学生经历猜想和验证的过程，并出示22×28、35×35、56×54等一系列试题，要求学生说出这些算式的共同特点，学生在计算、观察、比较后初步发现：当十位相同且个位上的数相加等于10的两个两位数相乘，乘积的后两位是两个乘数的个位数字相乘的积；后两位前面的数等于原来的两个十位上的数与比它大1数的乘积。在此基础上，教师让学生先应用发现的规律直接写出一组算式的得数，然后通过竖式计算加以验证，从而进一步确认规律和初步体会规律的应用价值。

1.自主验证

师：同学们，刚才老师带着大家探究两位数乘11的规律，现在请你们先独立探究，然后在小组里分享你们的探究成果。（教师巡视并观察学生的探究情况，指导探究有困难的学生）

师：每个小组都在积极分享自己的研究成果，哪个小组来说一说你们是怎么研究的？

生1：我们先用竖式计算了22×28=616、35×35=1225、56×54=3024，然后发现这三道乘法算式的特点是两个乘数十位上相同，而且两个乘数的个位上的数相加等于10。这三道乘法算式的得数是后两位等于两个乘数个位上的数相乘，后两位前面的数等于原来的两个十位上的数与比它大1数的乘积。比如22×28=616，后两位是2乘8等于16，后两位前面的数是2乘3等于6；35×35=1225，后两位是5乘5等于25，后两位前面的数是3乘4等于12；56×54=3024，后两位是6乘4等于24，后两位前面的数是5乘6等于30。所以我们小组总结出的规律是：当十位相同且个位上的数相加等于10的两个两位数相乘，乘积的后两位是两个乘数的个位数字相乘的积；后两位前面的数等于原来的两个十位上的数与比它大1数的乘积。

生2：我们小组还举了一些例子，比如47×43，后两位是7乘3等于21，后两位前面的数是4乘5等于20，所以47×43=2021；26×24，后两位是6乘4等于24，后两位前面的数是2乘3等于6，所以26×24=624；79×71，后两位是9乘1等于9，后两位前面的数是7乘8等于56，但是我们对79×71估算结果大约是5600，所以不满两位的数要在前面补0，79×71=5609。

生3：比如乘法算式34×36，按照刚才我们发现的规律要这样计算：后两位是4乘6等于24，后两位前面的数是3乘4等于12，所以34×36=1224。我们小组还通过画图来验证十位相同且个位上的数相加等于10的两个两位数相乘的规律，画了每行有34个小正方形和每列有36个小正方形的大长方形，并分成了这样四部分：左上角部分表示30×30，右上角部分表示4×30，左下角部分表示30×6，右下角部分表示4×6。我们把右下角部分4×6保持不变，这就是后两位是4乘6等于24；把30×30、4×30和30×6合并起来是40个30，也就是后两位前面的数是3乘4等于12。

2.运用规律

师：（出示题目：15×15、43×47、69×61）大家从不同角度猜想并验证了十位相同且个位上的数相加都等于10的两个两位数相乘的计算规律，现在我们就运用刚才发现的规律来算一算。

生4：15×15，后两位是5乘5等于25，后两位前面的数是1乘2等于2，所以15×15=225；43×47，后两位是3乘7等于21，后两位前面的数是4乘5等于20，所以43×47=2021；69×61，后两位是9乘1等于9，后两位前面的数是6乘7等于42，所以69×61=4209。

师：同学们，学到这里，你们能总结十位相同且个位上的数相加都等于10的两个两位数相乘的计算规律吗？

生5：当十位相同且个位上的数相加等于10的两个两位数相乘，乘积的后两位是两个乘数的个位数字相乘的积；后两位前面的数等于原来的两个十位上的数与比它大1数的乘积。

在教学中，教师精心设计了一份学习单，列出了一组十位数字相同且个位上的数相加等于10的两个数相乘的乘法算式，鼓励学生从独立发现并总结数学规律。学生经历观察现象、提出猜想并验证猜想等过程，通过对结果进行分析对比，逐步形成了自己的初步猜想。在整个自主探究的过程中，学生的推理意识得到了充分锻炼和发展，不仅学会了细致观察、大胆猜想，还学会了严谨求证，反复验证自己的想法是否符合所有同类问题的规律。在经历了一番深入思考和反复验证后，学生成功发现了这类乘法运算的规律，并能够运用自己发现的规律快速准确地解答类似的问题。

三、探究（a-1）（a+1）和a×a的乘法规律

教材的第三个环节是引导学生进一步探索如（a-1）（a+1）的乘法算式与如a×a的乘法算式的关系。教师完全放手，鼓励学生通过观察、计算、比较，在明确此类计算的共同特征的基础上，主动发现此类计算的规律，在探索规律和锻炼数学思维中进一步积累学习经验。

师：（出示题目：24×26和25×25，44×46和45×45，74×76和75×75）同学们，请你们直接写出各题的得数，并比较每组的两道题，说一说有什么发现？

生1：这六道乘法算式都是十位相同且个位上的数相加等于10的两个两位数相乘。24×26的后两位是4乘6等于24，后两位前面的数是2乘3等于6，所以24×26=624；25×25的后两位是5乘5等于25，后两位前面的数是2乘3等于6，所以25×25=625；44×46的后两位是4乘6等于24，后两位前面的数是4乘5等于20，所以44×46=2024；45×45的末两位是5乘5等于25，后两位前面的数是4乘5等于20，所以45×45=2025；74×76的后两位是4乘6等于24，后两位前面的数是7乘8等于56，所以74×76=5624；75×75的后两位是5乘5等于25，后两位前面的数是7乘8等于56，所以75×75=5625。

师：同学们，请你们观察这里的三组算式，你们发现了什么？

生2：我发现了每组每一题的两个乘数分别比第二题的乘数少1。

生3：我发现了每组两道题的乘积都相差1。

生4：我认为可以看成24×26=25×25﹣1，44×46=45×45﹣1，74×76=75×75﹣1。

在这个教学片段中，教师采用了启发式和实践性的教学方法。首先，教师让学生分别尝试计算几组这样的乘法题目，引导学生运用十位相同且个位上的数相加等于10的两个两位数相乘的规律计算得到结果；然后，进一步引导学生比较每组算式中乘数和积的变化规律，逐渐发现这类乘法运算背后的规律，并依据这个规律快速准确地推算出其他同类算式的答案。这个学习过程不仅锻炼了学生应用数学知识的能力，还培养了他们的观察力、归纳推理意识和数学建模思维；同时激发了学生对数学规律探索的热情和兴趣，使他们在解决具体问题的过程中体验数学的逻辑之美。

数学教育倡导“做中学”“发现式学习”的理念，教师要引导学生从被动接受知识转向主动建构知识体系，帮助他们形成良好的思维习惯和终身学习能力。实践证明，让学生经历探究过程对发展其推理意识十分重要。教师要意识到发展学生的推理意识是一个持续的过程，在每一节数学课中对学生不断进行强化训练。教师要创设富有挑战性的问题情境，激发学生的内在学习动机和探究欲望，让学生经历观察现象、提出猜想、验证结论等过程，鼓励他们积极提问和大胆假设，并以严谨的态度进行验证，逐步培养他们的独立思考、逻辑推理以及解决问题的能力。