深挖教材“思考”，提高教学有效性

【摘要】中共中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》指出，教育评价事关教育发展方向，有什么样的评价指挥棒，就有什么样的办学导向.作为一线教师，要摸透怎么考、考什么，以考促教、以考促学，将课程标准融合于教、学、评过程中.数学教材是教师在实施数学教学过程中最重要的媒介，在日常教学工作中教师要学会深挖教材，对教材中的内容进一步探究、思考、合理拓展，提高学生学习知识的深度.让教师的教、学生的学和教与学的考核评价更加统一，达到一致性，从而提高课堂的有效性.在高中数学新教材中，专门设置的“思考”环节恰好具有这样的作用.

【关键词】高中数学；课堂教学；教学评

考试是考验教学效果的最佳手段，评价的最高境界是教、学、评高度一致.教师的日常活动都要以教、学、评一致性为准绳开展.众所周知，教材是我们教师开展教学工作最主要的依据，同时也是学生学习学科知识最重要的载体.《普通高中新课程标准（2017版2020年修订）》提出，教材编写要体现知识的自然生成过程，促进学生的自主探究，体现相关内容的相互联系，帮助学生全面理解和认识数学[1].高中数学新教材设置了丰富多样的“思考”，在教师的指导下，让学生围绕这些“思考”，积极主动学习，不断尝试体验，获得成功的喜悦，与新课程精神高度契合，以提高学生的数学核心素养为目标.本文主要探讨“思考”栏目的作用，并提出“思考”栏目需要站在学科体系之上，如何实施“思考”的教学方法的案例.

1 高中数学新教材中“思考”的作用

教材中的“思考”为日常教学工作提供了思维教学活动的素材，强调“以学为主”，使学生在思维操作中围绕主题开展活动，主动解决问题，获取知识[1].从而培养学生的数学核心素养，“思考”并不是可有可无的部分，而是穿插于正文中的重要环节，与相关内容进行整合，体现了学习目标、学习活动的一致性，是教材整体中不可分割的一部分.

1.1 通过“思考”，引导学生自主思考，培养学生数学建模的能力

就高中数学教材“思考”来说，涉及的内容有一定难度，与课本基本知识相比，这部分内容具有一定的启发性、实践性.数学作为一门理解性很强的学科，经常有一些难度较大、比较复杂的问题，那么老师怎么帮助学生来解决呢？情境创设是一种非常重要的方法.通过情境创设，可以化抽象为具体，提供思考的方向.从而提高学生数学建模、数学抽象的能力.情境创设的途径有很多种，当然可以利用书本现成的“思考”为出发点，为学生创设相应的问题情境，鼓励学生积极参与开动脑筋全身心思考数学问题，解决数学问题.

又如，必修二第十章“概率”10.1.1中的“思考”：体育彩票摇奖中，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少种可能的结果？如何表示这种结果？这样设置的情境，都是利用了学生在生活中可以碰到的感兴趣的事物，激发了学生自主学习的兴趣，让学生体会到数学来源于生活，并服务于生活，为他们的思考指明了方向，同时也引入了新课.

1.2 借助“思考”环节，调动学生数学学习兴趣，培养学生直观想象和数学归纳能力

学习是需要主动去做的事情，只有学生愿意主动学习，才能获得较好的效果.教师可以借助新教材中的“思考”，挖掘学生的求知欲，另外，老师也可以转变教学思维，将课本中的“思考”和一些趣味性知识、数学文化等结合起来，以此来吸引学生，激发他们的学习兴趣[2].

例如 在教材必修二第八章“立体几何初步”一章中，内容抽象难懂，学生不容易接受，教材设置了很多基于实际生活的“思考”，比如8.4.1中的思考，“把三角板的一个角立在课桌桌面上，三角板所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点呢？”引入面面相交的基本事实.又如8.6.3中的思考：在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？这样的“思考”来源于生活，很容易引起学生学习的兴趣.

1.3 借助“思考”，建立新旧知识衔接，完善学生知识的结构体系

任何一个新知识的生成必须是自然的，不能直接硬塞给学生.新教材中“思考”的种类很多，有些是总结性的，有的是探究性的，有些是衔接性的.

例如 必修第二册第八章8.3.2“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”一节中设置了这样一个思考栏目：小学的时候我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何推导得出的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？这个“思考”起到了知识衔接和类比的作用，有了圆面积公式的推导方法：分割→近似代替→由近似和转化为圆面积，学生很容易想到用类似的方法得到球的体积公式.

2 “思考”栏目的教学方法举例

例如 以人教A版（2019版）选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中的“函数的单调性”中的思考——“请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数y=f（x）的平均变化率的几何意义与f′（x）的正负的关系.”

课本给出了函数f（x）的单调性和导数f′（x）的正负之间的关系，但并没有证明.对于函数的单调性，学生已有的认知基础是高一已经学过的函数的定义，对于新知识，最好的探究方法是利用已有知识自然生成，课本中安排这一“思考”，目的就是启发学生从一般意义上理解单调性与导数之间的联系，掌握利用导数的正负来判断函数单调性的方法.在选择性必修课程中，对拉格朗日中值定理的学习并没有要求，所以在教学中要让学生理解函数的单调性与导数符号之间的关系，需要从函数单调性的定义、导数的几何意义以及几何直观着手.

若函数y=f（x）在区间（a，b）内的导数f′（x）>0，下面说明y=f（x）在区间（a，b）内单调递增.

下面是学生为主体的探究过程.

（1）式的几何意义是经过点Ax1，f（x1），Bx2，f（x2）的割线AB的斜率.

下面是笔者的具体教学过程和方法，也是一次尝试.

问题2 我们知道平均变化率的几何意义是割线的斜率，导数的几何意义是切线的斜率，请同学们思考如何将斜率相同的割线和切线建立联系？

因为有斜率提示，学生很容易想到平移的方法.

由于f（x）在区间a，b内处处有导数，所以函数y=f（x）的图象在区间a，b内处处有切线.

b）内的导数f′（x）为负，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增.

问题3 函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增，能否推出f′（x）>0成立？

举反例如下：y=x3，x∈（－2，2），单调递增，f′（0）=0.

问题4 我们知道，函数的单调性与导数的正负有着密切的联系，在推导过程中，同学们能得到怎样的结论呢？

高考题来源于课本而又高于课本，那么在平时的教学过程中教师要试着提高课本中知识的高度，适当拓展.而课本中的“思考”恰恰具有很好的探究性.探究型“思考”栏目的作用是促进思考、加深理解，具有催化剂的作用.教师应引导学生从“思考”栏目中推导出的拓展性结论将提高学生的解题能力，在考试中用更短的时间得到更多分数.

在历年高考数学试题中，经常碰到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是有时过程繁琐，这些题在高等数学往往能找到相关的“影子”，也就是所谓的“高观点”试题，这样的试题以高等数学知识为背景，体现高等数学中常用的知识方法[3].下面举例说明拉格朗日中值定理在高考导数问题中的妙用.

例题 （2007年高考全国卷Ⅰ第20题）设函数f（x）=ex－e－x，

（1）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；

（2）若对所有x≥0，都有f（x）≥ax，求a的取值范围.

解析 （1）略.

（2）此题学生容易想到分离参数法，但分离之后的函数用高中知识很难求出最小值，所以得寻找另外的方法.

方法1 令g（x）=ex－e－x－ax，

则g′（x）=ex+e－x－a，

令g′（x）=ex+e－x－a=0，

（1）若a≤2，当x>0时，

g′（x）=ex+e－x－a>2－a≥0，故g（x）在0，+∞上为增函数，所以x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

函数g（x）=ex－e－x－ax在0，x1上单调递减，所以x∈0，x1时，g（x）<g（0）=0，即f（x）<ax，与题设f（x）≥ax相矛盾.

综上所述，满足条件的a的取值范围是-∞，2.

点评 该种解法突破口是构造新的函数，难点是学生不容易想到如何把参数a进行分类讨论，这也是平时导数教学中的难点问题.

方法2 当x>0时，

所以a的取值范围是-∞，2.

由此也可以向学生介绍拉格朗日的生平及贡献，让学生了解数学史，提高学生对数学的兴趣和数学素养.

3 结语

高中数学教材以“探究”和“思考”串起新知识，“探究”侧重于特殊例子的探究或者从特例探究出一般性的结论，“探究”相当于架起一座从已知知识生成新知识的桥梁.“思考”更侧重于知识的深化和拓展.“思考”内容中承载着丰富的知识点，同时这些知识点比基础知识内容更加深奥，具有探索性的开拓.因此，数学老师要重视“思考”内容的教学，用好“思考”，发挥“思考”的最大作用，由此锻炼学生的思维能力和水平，真正体现出数学的价值，提高学生的数学学习能力和水平，增强高中数学教学课堂的有效性.

参考文献：

[1]黄轶，孙露薇.品味高中数学教材的“思考”栏目——以苏教版为例[J]数学教学通讯，2015（33）：4-5.

[2]人民教育出版社，中学数学课程教材研究开发中心[M]北京：人民教育出版社，2007.

[3]吴旻玲.高考中的拉格朗日中值定理[J]中学教研（数学版），2012（07）：44-46.