基于UbD理论的高中数学逆向教学设计

【摘要】UbD理论的教学设计步骤与常规的教学设计顺序相反.UbD理论下的教学设计需经历两个阶段，强调三个问题，从六个方面去呈现证据，才能有效地达到教、学、评一致.本文主要研究以弧度制为例如何在UbD理论下进行逆向教学设计.

【关键词】高中数学；UbD理论；逆向教学

笔者在多年的高中数学教学中发现，初学者“1弧度的角”的概念理解，课堂上教师讲得费力，学生听得糊涂.由此，弧度制变成了“糊涂制”.经过调查了解，学生普遍反映弧度制概念理解的难点在于“为什么可以这样规定弧度制？”

为了解决“为什么可以这样规定弧度制？”这种教学困惑，需要我们重新审视弧度制概念的教学设计.

1 关于角的认知发展

2 UbD理念下弧度制的教学策略

通过对UbD理念的研究，我们得到了一种全新的数学教学设计视角.UbD理念下的教学设计与常规的教学设计顺序相反，要求用逆向教学设计来确定教学目标，之后就要寻求目标达成的评估证据（做法），最后进行顺向的设计过程.笔者依据弧度制的思维导图（如图1），通过由末到本的逆向逐级探索，提炼实际操作的策略.

UbD设计强调三个问题：目标是什么？如何达到目标？怎样才算达到目标？为之设计的教学环节是与学习目标相匹配的，在教学中则按逻辑上的“顺向”进行，这样有效地避免教与学分离，才能达到教、学、评一致.

第一阶段：教学预期结果的确定

合理确定预期结果是教学逆向设计的第一阶段.以弧度制教学为例，我们需要准确分析学生已经知道了关于角的什么知识？预期的理解结果是什么等.

在学生已有的知识储备中，角的概念已经从初中阶段的定义，上升到高中的任意角的阶段.根据角的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转量.我们清晰了教学预期结果：学生对角的理解过程，已经通过任意角旋转方向和旋转量达到数学理解.学生可能认为角度制已经完美，但是对旋转中心（单位圆）存在认识局限.因此，下一阶段需要教师指导学生尝试把任意角概念定义推广到在平面直角坐标系内.

从大单元教学角度：借助坐标系，角的变化和单位圆上的点的变化建立了对应关系，从角到函数的载体为坐标系，媒介是单位圆.基于此，在弧度制教学设计上，可以应用圆的各种载体展开关联教学.

为此，笔者设计了若干关联问题情境，力求达到教学上的突破：

（1）角的大小与弧长有什么样的对应关系？（角大弧长）

（2）可以用什么数学知识来刻画弧长和半径的关系？（比值定值）

（3）角的动态定义与旋转中心有什么联系？（坐标系和单位圆）

第二阶段： 从评估员的角度考虑各阶段学生掌握知识的证据

UbD理论的创新之处在于教师能够及时跟踪、评估学生的理解状况，并做出相应地调整.设计的教学过程应能实时提供评估各阶段预期结果的证据，这些证据的呈现则从六个方面去衡量，即能解释、能阐明、能应用、能洞察、能深入、能自知.

3 弧度制的逆向教学设计

为此，在“弧度制”教学时，可从以下三个方面进行逆向设计.

3.1 调动学生的知识储备

在设计时应尽量遵从“最近发展区”，以学生熟悉的知识场景为出发点，引导学生主动思考和发现.

场景1 “把蛋糕切成六块，如何挑出最大的一块”，这样亲切自然的生活场景引入，可以让学生通过直观感知抽象出数学模型.

师 大家在过生日切蛋糕时，如何判断六块平均分的蛋糕，哪块最大？（如图2）

生1 可以比较面积大小.

生2 可以比较角度α大小.

生3 可以比较弦AP长短.

生4 可以比较弧AP长短.

通过这样的活动体验，引导学生体会角α的大小与扇形面积、弦长AP、弧长AP的大小，有着正相关关系的感性认知.从弦长AP与弧长AP的比较大小后，说出比较大小的关键词--弧长.由此自然地应用单位圆建立角α与对应弧长的关系，并有对应弧长AP刻画角α的大小应用意识.当然，学生感知抽象能力的差异，自然会使他们的认知存在差异.从比较大小问题的高阶思维上，判断学生在这个活动体验中，是否真正理解比较大小问题实质的重要评估证据，则是能明确地说出“弧长”这个词.

场景2 sin30°+sin60°=？

30°+sin60°=？

sin（sin30°）=？

在这个活动体验中，重要评估证据是：学生体验到角度制下的三角函数表示是利用角度作为自变量，它存在一个突出问题，就是作为自变量角的值与三角函数值不能进行运算（如：30°与sin60°不能相加），大大阻碍了三角函数通过四则运算法则构造出其他初等函数，也限制了对诸多的优美结构函数图象的认识，如无法认识应用y=x+sinx，y=（sinx）/x，y=xsinx等函数的图象.

场景3 骑自行车、折扇打开、同心圆

以上三个的生活体验，学生是否真正理解其实质的重要评估证据是：第一层理解到弧长不变的情况下，半径和圆心角负相关（如图3）；半径不变的情况下，弧长和圆心角正相关（如图4）；圆心角不变的情况下，弧长和半径正相关（如图5）.第二层理解到圆心角不变，则弧长和半径的比值就不变，比值的大小与圆的半径大小无关，比值的大小只与圆心角的大小有关.当学生洞悉了变量和不变量关系，产生这种变与不变主动式的思考后，弧度制的引入便是顺理成章的事.

解“为什么可以这样规定弧度制？”的过程.对弧度制概念理解的教学设计没有停留在教师单向输出，也没有生搬硬套的几句话一带而过的.教学设计换位成从学生角度去理解去感受，为理解而教，从具象到抽象、从猜想到验证，潜移默化地渗透数学思想，逐渐地培养数学的核心素养.

3.3 实现角度制与弧度制的互化

场景4 请根据图中数字，指出对应的角.

这个环节，是验证学生在角度制与弧度制间的互相转化这个教学目标是否达成的一个重要评估证据.在介绍了弧度制后，创设情景引出单位圆（半圆），建立直角坐标系进行运算转换体验，学生既有角度换算的体验，也有角度和弧度的位置对应认识，自然地实现平面直角坐标系的引入，有“水到渠成”的感觉.

4 结语

至此，对“为什么可以这样规定弧度制？”的认知难点已经突破.UbD理论下本节课的教学设计，是从学生立场出发，解答学生之问，以此作为教学思考的原点，教师已然做到“心中有丘壑”.UbD理论下教学逆向设计立足于学生反馈，有序推进，有章可依，实证评估，使课堂教学“可视化”.UbD理论使深度学习、核心素养等浮在云端的理念有了可循的方向和阶梯.

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