浅谈高中数学教学中如何渗透数形结合思想

【摘要】数学是研究空间关系和数量关系的学科.数形结合思想强调分析空间和数量的内在联系，两相结合寻找解题思路，巧妙解决问题.在高中数学教学中引入数形结合思想，使学生多角度探究数学问题，在解题中增强学生的数学学习兴趣和学习自信，激发学生参与探究数学知识的学习热情，为学生理解数学概念和数学公式提供优势方法.本文提出以形助数、以数助形、精选例题等策略，以期为数形结合思想在高中数学教学中的渗透提供一定的可用参考.

【关键词】高中数学；数形结合；解题策略

新课标明确指出：“数学教育要使学生掌握数学的基础知识、基本技能和基本思想，让学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界.”数形结合思想应用于高中数学教学，引导学生从数量关系和空间形式两方面入手解决问题，拓展学生分析问题的思路，为学生理解数学概念、掌握数学知识提供助力.现阶段学生在应用数形结合思想解决问题的过程中经常出现画图不准确、难以把握数形转换关键节点等问题，影响了学生数形结合思维的发展.为此，教师必须从高中数学实际情况入手分析数形结合思想的应用方式，使数形结合思想融入学生思维认知之中，成为学生成长发展的有力支持.

1 高中数学教学中渗透数形结合思想的意义

1.1 深入理解数学公式

高中数学知识学习难度较大，公式概念数量较多且抽象性强，传统数学课堂中教师为追求教学进度，经常会出现强制要求学生机械记忆数学概念与公式的情况，会背而非会用，了解而不理解的学习状态导致学生难以深入理解概念和公式的内涵，不利于学生的成长.为帮助学生掌握数学概念与公式，使学生具备自主分析问题、理解问题、解决问题的能力，教师将数形结合思想融入数学公式之中，利用图形直观地表达公式的内涵，深化学生对数字变化规律的理解，为学生准确、牢固地记忆数学公式奠定基础[1].

1.2 提高数学解题能力

高中数学问题较为复杂，数字关系较为抽象，学习理解难度较大，图形连环嵌套，边角关系繁复，如何从众多的问题条件之中发现解题关键是保证解题效率和解题质量的关键.数与形相互转换，为学生提供了全新的解题思路，对学生学习数学知识、理解数学内涵、内化数学知识具有重要的促进作用.数形转换思想应用于计算题，将复杂的数学问题转化为直观的图形和图象，帮助学生理解问题的本质和考查要点.数形结合思想应用于几何题，将图形边、角、面关系抽象为数字关系，分析数字关系探索解题要点，提升学生的解题能力和知识应用能力，助力学生成长.

1.3 提高数学思维能力

现阶段高中数学教学将培养学生数学核心素养作为主要教学目标，培养数学思想是数学核心素养的重要组成，在高中数学教学中引入数形结合思想，推动抽象数学概念与图形和图象相互转化，在转化中发现问题隐藏的条件和解题规律，帮助学生深入理解数学知识本质，形成用数学化的思维方式分析问题的习惯，为学生数学思维的形成与发展奠定坚实基础.此外，数形结合思想引入高中数学课堂，对学生观察力、想象力和分析能力的发展同样具有一定的促进作用，有助于学生数学素养的全面发展.

1.4 提高数学学习兴趣

建立以学生为主体的数学课堂已经成为现阶段高中数学教师的共识.高中数学知识复杂难懂，单纯死记硬背和刷题难以使学生真正理解数学知识的内涵，且这种教学方式会极大地损伤学生的学习积极性，不利于学生未来的学习发展.数形转换思想引入数学教学活动，利用图形的直观性帮助学生理解数字之间复杂的关系，利用数字关系探索图形边角关系，多视角看待问题，有效降低数学知识的理解难度和数学学习的枯燥感，使学生感受到学习数学知识的趣味性以及数学本身的魅力，激发学生对数学知识的好奇心和探索欲，强化学生探究数学问题的内在驱动力，助力学生成长[2].

2 高中数学教学中渗透数形结合思想的策略

2.1 以形助数，抽象内容具象化

数字关系抽象难懂，图形天然具备直观性和形象性特征，为此教师可运用以形助数思想，将数学公式、概念转化成相应的图形，用图形表达抽象化的数学关系，借助图形的直观性阐释抽象的数学概念，组织学生自主观察、讨论图形中蕴含的数学思想，以学生为主体自主探究数学知识，助力学生成长.

结合以形助数思想构建以学生为主体的探究性数学课堂，关键在于如何将数字关系转化为图形，为此教师在课上引入小组合作讨论教学法，引导学生以小组讨论形式分析数字和图形之间的转化过程，自主探究数形内在联系，深化学生对所学知识的记忆印象的同时，培养学生自主学习和合作学习的能力，助力学生成长[3].

例如 以人教版高一数学必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”为例，为让学生了解集合之间包含与相等的含义，识别给定集合的子集，理解子集、真子集、空集的概念，教师在导入阶段设问引导学生思考：“实数有相等，大小关系，集合之间是否也存在类似的关系呢？”教师将学生分为多个学习小组，引导各组学生观察下列集合，思考集合元素的内在联系，A=1，2，3，B=1，2，3，4，5，C=7，8，9，D=1，2，11，15，此时学生对集合元素的关系有一定了解，但认识尚不清晰，为此教师引入维恩图，在黑板上绘制四组封闭曲线图，假设一组封闭曲线图代表一种集合元素关系，思考图形对应的集合.学生以小组为单位讨论图形含义，集思广益，尝试提出更多的集合关系，在探索中深化学生对集合的理解.为增强学生对集合内涵的理解，教师引导学生用图形表示子集、真子集、空集的概念.“同学们，现在有一个集合，这个集合中的任何一个元素都属于集合B，此时两个集合的关系应该怎样用维恩图来表示呢？”“如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，此时两个集合之间的关系又该怎样表示？”“如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，此时两个集合之间的关系应如何用图形表示？”“a包含于集合A与a属于集合A之间的区别能否用图形区分？”通过绘图回答问题逐渐深化学生对子集、真子集、空集、交集、并集等概念的理解，帮助学生理解集合与元素之间的区别，使学生认识到数形结合思想对学习数学知识的意义，助力学生成长.

2.2 以数助形，精准分析内在逻辑

几何知识是高中数学教学的重要内容，与数字关系相比，几何知识具有直观、形象等优势，知识理解难度相对较低，但逻辑性和精准性的缺失导致学生如果仅从几何角度分析知识，不可避免地会在解题中产生错误判断，为此教师有必要使用数学语言阐述几何图形之间的关系，拓宽解题思路，多角度分析题目条件，解决数学问题，助力学生成长[4].

常见的以数助形解题法可被分为两种，第一种为坐标法，根据几何问题特点建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，推导数字关系，并将推导得到的代数结果转化为几何结果，得到问题答案.第二种为向量法，将几何问题中直线的各边视为向量，将线段的关系式转化为向量关系式，使几何问题转化为向量问题，使图形关系代数化，用数字分析复杂的几何图形，简化计算过程，深化学生对几何图形条件的理解.

例如 以人教版高一数学选择性必修第二册第八章“空间点、直线、平面之间的位置关系”为例，为让学生认识到代数法的应用对解决几何问题的促进作用，教师在课上引入例题：在△ABC中，AB=4，AC=2BC，试求出△ABC面积的最大值.由于三角形中边AC，BC的长度、方向不明，且缺乏其他有效条件判断三角形内角角度，因此常规运用平面图形知识分析解题的难度较大，教师在分析题目条件的前提下引入坐标法辅助解题.微课简单介绍坐标法，教师采取问题导学方式指导学生自行推导应用坐标法解决数学问题的过程，问题1：应以三角形哪条边为横轴建立直角坐标系？为什么？问题2：建立直角坐标系后，如何求出ABC三点坐标？问题3：由于另外两边长度不定，三角形面积也不存在定数，在此种情况下如何确定三角形面积最大值？不同问题对应解题关键点不同，△ABC在直角坐标系中的位置决定后续的解题过程能否顺畅进行，确定三角形三点坐标是将图形向数字关系转化的重要步骤，代数分析C点坐标变化轨迹，发现C点在以AB中点为圆心的圆上运动，C点纵坐标越大，证明三角形的高越长，分析圆形形状特征，当三角形的高与半径相等时，三角形面积取最大值.循序渐进，借助问题引导学生用代数阐述几何图形内在联系，助力学生成长.

2.3 精选例题，培养数形互化能力

培养数形结合思想绝非朝夕课程，需要长期的、系统化的训练，为使数形结合思想渗透到高中数学教学之中，教师在教学中要有意识地挑选、编制应用数形结合思想解题的练习题，围绕练习题组织数形结合问题精讲活动，引导学生自主探索问题解决方案，相互交流讨论，分享运用数形结合思想解决问题的经验，师生共同对比不同解法的优势和缺陷，思学结合使数形结合思想渗透到学生的思维认知之中，助力学生成长[5].

错题同样是高中数学教学的重要资源类型之一，学生对数形结合思想的理解相对有限，因此在解题过程中不可避免地会遇到错误，教师可引导学生归纳总结错题原因，在探索正确解题方法的过程中渗透数形结合思想，使学生从错误中吸取教训，获得成长，深化学生对数形结合思想的理解.

例如 以人教版高一数学必修第一册第二章“二次函数与一元二次方程”为例，教师结合以往教学经验分析，导致数形结合理念运用错误的主要原因是转化不等价，基于此，教师设置易错题，引导学生重新经历错题过程，通过分析错题原因使学生认识到自己在运用数形结合解题时存在的问题，助力学生成长.

例题 试求方程x2－2x=0的解的个数.

学生在教师的引导下选择图象法求解.将方程x2－2x=0拆分为两组函数y=x2与y=2x，分别绘制函数图象，分析函数交点，得到结果x2－2x=0有两个解.解题过程出现错误的原因是学生只考虑到当x>0时两图象有两个交点，但实际上当x<0时，两图象在第二象限同样有交点，在例题最后教师带领学生总结错误原因：图象绘制不完整.

3 结语

综上所述，在高中数学教学中引入数形结合思想，对学生数学思维能力以及数学核心素养的发展具有重要意义，教师应在把握学生思维认知发展的前提下，导入问题，从问题入手渗透数形结合思想，鼓励学生独立思考问题，解析问题，体会数形结合思想在解决数学问题中的价值，为学生解题思维与数学思维的发展提供有力支持.

参考文献：

[1]马艳波.新课程背景下高中数学变式题设计方法探析——以“数形结合思想在函数问题中的应用”一课教学为例[J].延边教育学院学报，2022，36（03）：143-145.

[2]才让当知.高考数学中数形结合思想的研究及启示[J].科学咨询（科技·管理），2021（12）：211-213.

[3]张丽.高中数学教学中数形结合法的应用微探[J].科学咨询（教育科研），2021（01）：277.

[4]张彦平.信息技术背景下高中数学数形结合教学探究[J].科学咨询（教育科研），2020（01）：114.

[5]刘遥辉，宇世航.数形结合方法在函数问题中应用的实证分析[J].高师理科学刊，2018，38（10）：61-64.