圆锥曲线离心率问题的构建探究

【摘要】高中数学离心率问题的构建方式不同，涉及渐近线、特殊位置关系、焦点三角形等内容.解题探究需要把握问题的构建方式，结合对应知识、数形结合构建思路.本文结合实例探究离心率问题的三大构建策略.

【关键词】离心率；高中数学；解题技巧

离心率是研究曲线的重要参数，圆锥曲线考查中常涉及曲线的离心率，问题构建形式多样，常见的有与渐近线关系构建，与特殊位置关系构建、与焦点三角形构建，下面结合实例具体探究.

1 离心率与渐近线的关系

命题分析 本题给定双曲线的离心率，以及渐近线条件，要求解线段长，实则考查双曲线的离心率与渐近线的关系.求弦长时可根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

所以答案为（D）.

小结 求解上述题目时充分把握离心率与渐近线的关系，推导出双曲线的渐近线，再结合点到直线的距离公式、弦长公式.离心率与渐近线的关系是解题突破的重点，探究解析时可结合双曲线的特征参数来构建关联.

2 离心率与特殊位置关系

命题分析 本题目设定了直线与双曲线相交关系，并构建了切线和等线段关系，求离心率，实则考查离心率与几何特殊位置关系.根据其中的位置与线段关系，构建方程，再化简即可求出离心率.

解析 根据题意绘制图1，过点P作PE⊥x轴，

设∠PFM=θ，

则∠PME=2θ，

设P点坐标为x0，y0，P点处的切线方程为y－y0=kx－x0，

且b2=c2－a2，代入③中化简，

得49c4－449a2c2+400a4=0，

整理可得49e4－449e2+400=0，

小结 上述求解时充分把握了直线与曲线的相切关系，结合条件构建关于双曲线特征参数的方程，进而求出了离心率.解题的关键是充分理解其中的特殊位置关系，通过数形结合构建思路.

3 离心率与焦点三角形

命题分析 本题设定了焦点，构建了向量条件，求解双曲线的离心率，实则考查离心率与焦点三角形模型.建议求解时采用数形结合的方法，求解AF2，BF2，BF1，AF1关于a，m的表达式，后续再通过解三角形来完成求解.

解析 根据题意，可设AF2=2m，则BF2=3m=BF1，AF1=2a+2m，绘制如图2所示的图象.

在Rt△ABF1中，由勾股定理可得9m2+（2a+2m）2=25m2，

则（a+3m）（a－m）=0，

可解得a=m或a=－3m（舍去），

所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，

则AB=5a，

小结 上述求解时借助了焦点三角形，利用向量的几何意义构建三角形，结合三角形勾股定理、余弦定理来构建特征参数之间的关系，推导出双曲线的离心率.过焦点三角形的模型构建是解题的关键.

4 结语

总之，圆锥曲线中的离心率问题构建方式多样，上述所呈现的是其中较为常见的三种.理解渐近线特点，把握特殊位置关系，构建焦点三角形模型是解题分析的关键.探究学习中，可总结构建策略，整合知识内容，掌握数形结合方法，探究实例积累经验.