函数值域的求解策略

【摘要】函数值域是解决与函数有关问题中的一个重要环节，可单独命题，也可辅助应用．本文借助实例，就求解函数的值域的主要技巧与方法策略加以剖析，归纳解题方法，总结规律策略，引导教师的数学教学与学生的学习．

【关键词】函数值域；高中数学；解题技巧

函数的值域是函数在定义域内对应的函数值中的取值范围，其关键是确定相应的最大值或最小值．因此，求解函数的值域时要把定义域内对应的一切极值和端点处函数值加以比较．在高考中以求解函数的值域为主要的考点，带动函数的值域、最值等相关问题的求解．

1 观察法

该方法适用于自变量x只出现一次的函数，注意结合函数的变化趋势．

分析 对于一些简单的函数，可通过定义域及对应法则，用观察的方法来直观确定函数的最值问题．

点评 算术平方根具有双重非负性，即被开方数的非负性、值的非负性，这也是解决此类函数值域的技巧方法．

2 配方法

该方法适用于二次型函数y=af2（x）+f（x）+c（a≠0），注意自变量x的取值范围及二次函数对应的图象对函数的最值的影响，有时可直接利用

例2 求函数y=x2－4x+6，x∈1，5的值域．

分析 这是求关于二次函数在给定的定义域范围内的值域问题，可用配方法结合二次函数的图象求解．

解 将函数配方得：

y=x2－4x+6=（x－2）2+2，

又由于x∈1，5，函数y的对称轴为x=2，可画函数的大致图象，

如图1所示，易知当x=5时，y=11，

当x=2时，y=2，

所以函数y的值域为2，11．

3 换元法

分析 此题的函数由于含有根号，不便于求最值，可采用换元法去掉根号，转化成二次函数再求对应的最值问题．

4 几何法（数形结合法、图象法）

该方法适用于较容易与几何图形联系的函数，以图形与图形之间的位置关系和直线的斜率为主．此题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，若运用数形结合法，往往会更加简单，解题过程会一目了然，赏心悦目．

例4 求函数y=|x+1|+|x－2|的值域．

分析 要求函数y的值域，关键是求解其最小值，通过去掉绝对值符号，将含绝对值符号的解析式转化为不含绝对值符号的解析式，画出图象，根据图象判断其对应的最值．

解 将函数的解析式中的绝对值符号去掉，化成分段函数：

该函数图象如图2所示，则根据图象可知函数y的最小值为3，则其值域为3，+∞．

5 反函数法

分析 将题目用含x的关系式表示的y，转化为用含y的关系式表示x，结合主元的变换，利用题设中x的取值限制构建不等式，进而通过解不等式确定函数的值域即可．

6 结语

函数的值域问题在高中数学中占有重要地位，应用广，且知识面宽，综合性强，解法灵活多变．随着后继的不断深入学习，学生会接触更多种函数值域的求解方法．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，有时也可以将多种方法同时运用．