直线与双曲线的综合问题分析与探究

【摘要】直线与圆锥曲线相结合是高中数学的重难点知识，其中以直线与双曲线的相交为背景，求双曲线方程、直线方程、直线与双曲线相交弦长等综合问题常在高考的填空题和解答题中出现，题目难度大，运算复杂，充分考查了学生的函数思想和逻辑推理能力.本文对直线与双曲线的综合问题进行分析与探究，并列举了两道例题进行讲解，以期望提高学生解答直线与双曲线综合问题的技巧.

【关键词】直线；双曲线；解答技巧

1 直线与双曲线的位置关系问题

判断直线与双曲线的位置关系，有几何法（渐近线法）可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系.如图1所示，设此双曲线的渐近线斜率为±k，当直线的斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，直线①=1③=3均与双曲线右支交于一点；当直线过点P且斜率在－k，k上时，直线与双曲线左右两支各交于一点，如直线②=2；当直线过点P且斜率在－∞，－k∪k，+∞上时，直线可能与双曲线的右支交于两点，如直线⑥=6，也可能与双曲线右支相切，如直线④=4，还可能与双曲线相离，如直线⑤=5.注意：IFAMnLY8fC7Gu/RcuSjQIzRIE341ZEnfvaSynkP0LeM=当直线与双曲线只有一个交点时，有两种可能情况：直线与双曲线相切；直线与双曲线的渐近线平行.

2 直线与双曲线相交的弦长问题

设直线与双曲线相交于点Mx1，y1，Nx2，y2，则可结合一元二次方程根与系数的关系得到如下弦长公式：

其中k为直线的斜率，a为x2的系数.

设Ax1，y1，Bx2，y2，

因为F22，0，所以直线l的方程为y=kx－2，

所以k4+8k2－9=0，解得k=±1（另外两解不成立），所以直线l的方程为y=x－2或y=－x+2.

3 结语

高中数学中，解直线与双曲线的综合问题是一个难点问题，解决这类问题需要综合运用函数、代数、几何和分析等多种数学思想，通过对直线和双曲线的性质和方程进行分析和比较，找到它们的交点或者相对位置关系，从而找到解答问题的突破点.

参考文献：

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[2]姜艳.例谈运用代数法判断直线与双曲线位置关系的思路[J].语数外学习（高中版下旬），2022（05）：50.

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