函数单调性定义在试题解题中的应用分析

【摘要】函数单调性是高中阶段函数版块的重要知识点.灵活运用函数单调性可以解决各种函数问题，如利用单调性解答不等式问题.判断函数单调递增或单调递减，主要在定义域内探讨任意x1＜x2对应的fx1，fx2的不等关系，从而判断单调性.本文主要对三种不同函数题型做出分析，分别解析如何运用函数单调性解答不同问题，达到快速解题的目的.

【关键词】函数单调性；高中数学；解题技巧

1 单调性证明题

关于函数单调性的一类证明问题，属于最为常见的函数问题，运用单调性定义解答即可.解答这类问题的思路是在规定范围内任意取x1＜x2，分析对应函数值fx1和fx2的大小关系，若fx1＜fx2则函数单调递增，若fx1＞fx2则函数单调递减.

分析 证明函数单调性问题可以通过定义域解答，即求出函数定义域后，在定义域内任取两个数使x1＜x2，作差得到fx1－fx2，通过变形推断fx1－fx2是否小于0，即可证明函数在定义域内单调递增.

2 比较大小问题

比较大小问题通常是对函数的大小做出比较，可以是带有函数符号的数值，也可以是具体常数，比较这些已知数大小需要借助函数单调性解答.具体是基于函数单调递增或单调递减的性质，由自变量大小关系推断已知数的大小关系.

具体解题步骤为：①根据已知函数解析式，将需要比较的数值转化为等价带有函数符号的fa，fb形式；②分别判断自变量中a，b之间的大小关系，结合函数单调性，推断得到fa和fb的大小，对问题做出解答.

解析 因为f（x）=f（-x）恒成立，

所以f（－π）=f（π），

因为函数f（x）为增函数，

3 函数不等式问题

利用函数单调性同样能够解答与函数有关的不等式问题，主要体现在给出不等式求具体解集或已知不等式恒成立求参数范围，灵活运用函数单调性能对这些问题做出解答，即结合函数具体性质或解析式将不等式转化为函数值不等关系式，如fx1＜fx2，此时凭借单调性可以去除函数符号得到自变量有关的不等关系式，运算解答即可.

运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为：①根据已知不等式构造含有函数值的不等关系式；②结合函数单调性定义，使fx1＜fx2脱去函数符号，得到x1＜x2或x2＜x1；③运算求解，得到完整解答.

例3 已知函数f（x）在定义域－1，1内单调递减，且满足－f（x）=f（－x），则当f（a2－a－1）+f（4a－5）>0时，实数a的取值范围为.

分析 给出的不等式是具有函数符号的不等关系式，不需要过度变形.结合函数在规定区域内单调递减性质，利用单调性逆向判断自变量4a－5和a2-a+1的大小关系，列出不等式组并解答，即可得知参数a的取值范围.

解析 由题意可知fa2－a+1+f（4a－5）＞0，

等价于f（a2－a－1）>－f（4a－5），

因为函数fx在－1，1内满足－f（x）=f（－x），

所以f（a2－a－1）>－f（4a－5）=f（5－4a），

4 结语

上述例题分别对函数单调性的运用都做出了具体的分析与思考，单调性证明问题解答属于函数单调性定义的常规应用，比较大小和不等式问题解答则需要对相关等式变形构造，才能进一步运用单调性解答.用函数单调性解答不同函数问题，能够对函数单调性质理解得更加透彻，也有助于同学们更加变通地解答函数问题.

参考文献：

[1]张岭芝.巧用函数的单调性比较大小[J].数理化解题研究，2021（01）：62-63.

[2]徐东力.概念紧扣合：探析“函数单调性”定义的简单应用[J].语数外学习（数学教育），2015（06）：40-41.

[3]杨红霞.函数单调性在解不等式问题中的应用[J].高中数理化，2016（19）：12.