关于空间几何体积考查重点的探究举例

【摘要】体积问题是高中数学中的典型题目，问题构建形式多样，考查侧重点存在差异.具体求解时应先明晰问题、条件，把握几何体特征，再结合相关知识确定解法.本文结合2023年高考真题开展几何体积问题探究.

【关键词】空间几何；体积；解题技巧

高考注重对空间几何体积的考查，问题类型较为多样，实际考查的重点也有一定的差异，涉及到两方面：一是思维能力的考查，如学生空间几何观；二是知识方法考查，如常规体积公式，体积模型构建等.下面结合2023年高考真题开展体积问题考查探究.

考查形式1 分割构建求体积

分析 本题目求解三棱锥的体积，分析证明几何体的高是关键，后续求解三棱锥的体积可以采用分割体积法.

解 取AB的中点E，连接PE，CE，如图1所示.

因为△ABC是边长为2的等边三角形，

PA=PB=2，

所以△PAB是等边三角形，

所以PE⊥AB，CE⊥AB，

PE∩CE=E，

所以AB⊥平面PEC.

综上可知，答案为（A）.

小结 上述求解三棱锥的体积时采用了分割体积的方法，即构建V=VB－PEC+VA－PEC的体积模型.后续再通过空间位置关系分析确定几何体的底和高.使用分割体积法求解体积问题时，需要注意两点：一是尽量分割为规则的几何体，充分利用线面垂直、面面垂直关系；二是准确分割，确保不重叠、不疏漏.

考查形式2 比值转化求体积比

分析 本题目求解三棱锥P－AMN和三棱锥P－ABC的体积之比，属于体积比值问题，基本思路是构建体积模型，再通过比值转化来求解几何体积的比.构建体积模型时需要注意对空间位置关系进行分析，确定三棱锥的底和高.

解 如图2所示，分别过点M，C作MM′⊥PA，CC′⊥PA，设垂足分别为M′，C′.

过点B作BB′⊥平面PAC，垂足为B′，连接PB′，

过点N作NN′⊥PB′，垂足为N′.

因为BB′⊥平面PAC，

综上可知，答案为（B）.

小结 上述求解两个三棱锥的体积之比，属于体积比值问题，具体求解时分为两个阶段：阶段1，分别构建三棱锥的体积模型，将问题转化为线段比值问题；阶段2，结合空间几何中的位置关系，提取两线平行，求解线段比值.

考查形式3 巧用公式求棱台

例3 （2023年新高考I卷理数第14题）正四棱

分析 求棱台的体积，可直接调用体积公式.求解时可结合图象，依次求得A1O1，AO，A1M，再代入体积公式即可.

解 如图3所示，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，

易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高.

结语

总之，空间几何体积题型多样，往往融合了空间关系，考查体积公式及模型构建.上述是其中常见的三种形式，涉及了体积分割法、体积比值的常见转化思路，以及特殊棱台的体积公式.探究学习中需注重总结公式定理，深刻理解空间关系的分析方法，灵活运用体积模型构建的技巧.