《几何画板》入微构图提升解析几何教学效能

【摘要】《几何画板》软件能实现解析几何的直观.在解析几何教学中，应用《几何画板》软件，创造一个实际操作几何图形的试验环境，施以建构主义思想为依托的数学实验教学，对学生准确、正确理解解析几何概念、定义方面是极其有意义的.首先，创设新颖的构图情境，可以向学生展示圆锥曲线定义构图过程，展现内部，揭示本质.其次，创设新颖的构图情境，可加深学生对圆锥曲线光学性质的准确理解，使他们感受圆锥曲线的动态性与形象性，理解现实生活中的科学规律.再者，以《几何画板》软件的构图方法为指导思想，可强化学生作圆锥曲线图的准确性，使其画出的书面图形与数学表达式更加匹配，这样做不但可以加强学生对基本概念的准确理解，还可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，以此提升高中解析几何教学效能.

【关键词】几何画板；动态直观；情境教学

1 创设《几何画板》构图情境，揭示圆锥曲线定义的本质

“情境”而非“情景”，利用《几何画板》强大的运算功能创新构图，探究、揭示动态图形的本质，促使学生形成批判性思维，激发学生的学习兴趣.在直观形象中揭示问题的本质规律，有利于培养学生的逻辑思维能力以及空间想象能力.

例如 根据椭圆的定义，利用《几何画板》构造椭圆如下：

（1）建立以0为坐标原点的平面直角坐标系.在x轴上任意选取一点F′，并作出其关于y轴的对称点F″.在x轴上再任意选取一点A′，并作出其关于y轴的对称点A″，使A′A″>F′F″.令A′A″=2a， F′F″=2c.

（2）以F″为圆心，A′A″为半径作圆.在圆上任意选取一点D.作直线DF″.线段DF′的中垂线l与直线DF″相交于点G.连接GF′得到图1.

（3）用鼠标拖动点G，观察点G的变化情况，在动态中恒有GF′+GF″=2a.同时选取D，G两点，构造点G的轨迹.与教材内容相对应，取一条定长为|A′A″|的细绳，把它的两端固定在画图板上的F′和F″两点，要求细绳长大于F′和F″间的距离.

另外，向右拖动椭圆的右焦点F″，使点F″在点A″的右侧，这时A′A″<F′F″，观察到动态的椭圆变换为动态的双曲线.

还有，线段DF′的中垂线l与直线DF″相交于点G，而中垂线l即为椭圆（双曲线）的以点G为切点的切线.

2 揭示圆锥曲线的光学性质，理解现实生活中的科学规律

数学《选修2-1》第二章“圆锥曲线与方程”中的阅读与思考一“圆锥曲线的光学性质与应用”[1]指出：当一束光束照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即入射角等于反射角.教科书上的“镜面”其实就是抛物面，是由一个抛物线绕它的对称轴旋转得到的曲面.本质上，光线从抛物线的焦点（聚集点）出发，经过抛物线的切线的切点反射后，反射光线平行于抛物线的轴散出.

在教学中，参考数学实验“计算机探究圆锥曲线的光学性质”[2]的操作方法，本文运用《几何画板》软件展示构图过程如下：

（1）建立以O为坐标原点的平面直角坐标系.在x轴正半轴上任意选取一点F，并作出其关于y轴的对称点F′.过点F′作x轴的垂线l′.

（2）在直线l′任意选取一点D.过点D作直线l″⊥l′.构造线段DF，作线段DF的中垂线l，设直线l与直线l″相交于点G.直线l就是以G为切点的切线，如图2.

显然，光线从抛物线的焦点F出发，经过抛物线切点G反射，相当于光线照到切线上的点G后反射平行于抛物线的轴散出.用鼠标拖动点F，抛物线的开口变大或变小，但焦点光线照到切线上反射后平行于抛物线的轴散出的性质不改变.

在《几何画板》软件指导下书面作图，即画出草图.草图并不是潦草的图，而是根据问题的条件及定义、概念作出的“准确”的图.一个“准确”的草图，与《几何画板》软件构图一样，直观、形象，不但揭示了解析几何问题的规律和本质，甚至可以检验计算结果.

3 规范圆锥曲线作图，培养学生的空间想象能力

此题用坐标法，运算量大，会消耗太多的时间.也许命制此题的教师是用该题来考查考生的数形结合能力、计算能力，即书面作图的能力，检验学生对基础知识的掌握情况与灵活运用能力.

以坐标原点为圆心，半焦距c为半径画圆，与双曲线的第一象限部分的交点为点P，交x轴负半轴为左焦点F1.连接PF1，与双曲线的左支的交点为点Q.测量PQ和QF1.检验结论.由于满足PQ=2QF1，答案为（A）.

草图是根据条件和概念构作的“准确”图形.为了能画出“准确”的草图，就必须以《几何画板》软件构图作为指导，由于《几何画板》软件制作的动态图形与数学表达具有精确性的关系，因此强化书面作图训练不但可以加强学生对基本概念的准确理解，还可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.

4 结语

《几何画板》软件能动态表达几何图形及其变化细节，是一个优秀的数学教学软件，可以创造课堂上即时构造几何图形的环境.在解析几何教学中，创新《几何画板》连续变化的动态性，可以向同学们展示构图过程，展现内部，揭露本质，可提升高中解析几何等几何教学效能.

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1（人教版）[M].北京：人民教育出版社，2007：75-76.

[2]普通高中教科书数学选择性必修第一册（湘教版）[M].湖南：湖南教育出版社，2019：166-167.