数形结合，巧妙转化

【摘要】 向量具有“数”与“形”的高度统一性，平面向量是沟通高中数学代数知识与几何知识的桥梁，平面向量问题也是高考的必考点之一.运用坐标法解答平面向量问题，是考生必须掌握的一种重要的解题方法.本文希望通过对典型实例中解题思路与方法的探索，加深考生对于这类方法的理解和运用.

【关键词】平面向量；向量共线；坐标运算

向量具有方向和大小，兼具“数”与“形”的特征，是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具.在高中数学中，由于向量的引入，使古老的数学勃发了生机与活力，使各知识点之间的距离缩短了，尤其是运用坐标法来解决那些规则的几何图形问题时，具有极大的便捷性.

1 求平面向量共线的坐标类问题

故当μ=－4时，A，B，C三点共线.

解析2 依题意得i=1，0，j=0，1，

具有代数化和程序化的优点[2].

2 坐标运算问题

思路与方法 本题的解题思路是先设出基向

解析 建立如图3所示的坐标系，

则A（1，0），B（cos120°，sin120°），

因为0°≤α≤120°，

所以30°≤α+30°≤150°，

所以x+y有最大值2，当a=60°时取得最大值2.

思路与方法 本题中由于点C在单位圆上运动，因此可以用OA与OC夹角的三角函数表示点C的坐标，进而利用三角函数的有界性即可求出最值.

4 证明线段类问题

例4 已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点E，求证：AF=AE.

证明 如图4，以正方形ABCD的边CD、CB所在的直线为x轴、y轴，以C点为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则点A，B的坐标分别为（－1，1）和（0，1），若点E的坐标为（x，y），

所以x·（－1）－1×（y－1）=0 ①，=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT

又由AC=CE及A（－1，1），C（0，0），E（x，y），

可得x2+y2=2②，=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT

5 结语

综上所述，向量的坐标表示是将几何问题代数化的具体体现.由于向量的数量积、向量共线等均与坐标有关，因此在求解与向量有关的问题时，通过建立坐标系，将向量的运算转化为坐标的运算，可使解题思路更清晰，解题过程更加简捷.教师应引导学生通过典型例题的学习与适量训练，深刻地体会平面向量“数”的特征及其功效，学会熟练运用坐标法解决与几何有关的向量运算问题.

参考文献：

[1]苏恒连.巧用坐标法创造性解决平面向量问题[J].中华活页文选（高中版），2022（18）：171—174.

[2]魏燕.探求向量数量积最值问题的求解方法[J].高中数理化，2023（17）：69—70.