浅论如何在高中数学教学中利用导数工具指导学生解题

摘 要：函数中的导数是一个非常重要的概念，它不仅是高等数学中微积分的基础，而且是数学建模中解决数学问题的强有力的工具。在高考数学中，导数在分析函数的特性中扮演着重要的角色。文章主要研究了导数在高考数学中的应用，通过理论探讨和案例分析，将重点聚焦于导数在函数单调性、最值和极值点判断中的作用，以及展示了递推解题方法在处理复杂函数导数问题中的实用性。文章旨在揭示导数在解决具体数学问题中的实际运用，以及如何通过这些题目来有效地教授和学习导数。这为高中教师在课堂教学中引导学生掌握导数方法提供了宝贵的经验和参考，同时也为提高学生解答导数问题提供了理论支持和实践指导。

关键词：导数工具；导数中的递推；学生解题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2024）26-0065-04

一、 研究背景

在高中数学教学过程中，导数的概念是函数中非常核心的一部分内容。作为高等数学中微积分学的一个基本工具，导数不仅在理论数学中占有重要地位，同时也在解决现实问题和数学建模中发挥着关键作用。导数的重要性体现在诸多方面。首先，导数是一种衡量变化的方式，是研究函数变化规律的重要手段，它能够提供函数在各个点的斜率信息，从而揭示函数的变化趋势和特性，帮助学生理解和预测各种变化过程。这种对函数的变化进行细致而全面的分析，对于解决实际问题和探索数学规律至关重要。其次，导数的概念贯穿于高中数学课程的始终，从初步的导数定义和求导法则，到高级的导数应用和微积分基础，学生需要逐步掌握导数的相关理论和方法，这不仅对于后续深入学习数学、物理和经济学等学科有着重要的铺垫，也培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。

在高中阶段，导数的教学不仅是为了传授数学知识本身，更是为了培养学生的抽象思维能力、问题解决能力和举一反三的能力，锻炼学生能够将本学科的知识运用到交叉学科的能力。通过学习导数，学生能够更好地理解函数，可以将导数的知识进行灵活的运用，例如在物理学科中通过速度和加速度的计算就是导数具体应用的体现。此外，导数还是理解高等数学中微积分学概念的基础，为学生未来的数学学习打下了坚实的基础。

导数的应用广泛而深入。在物理学中，它被广泛地应用于力学、描述物体的运动等领域，例如加速度是速度对时间的导数、速度是位移对时间的导数等。在经济学中，导数通常被用于解释经济现象以及进行经济预测。例如在微观经济学中，导数可以用来分析边际成本、边际收益等与供求关系相关的概念。在宏观经济学中，导数可以被用来描述国民经济的增长速度、通货膨胀率等指标的变化趋势。

综上所述，导数作为描述变化率的一种数学工具，在各个学科都有着广泛的应用，不仅为学生理解现实中的现象提供了良好的理论依据，还为解决实际问题提供了重要的解题工具。

二、 研究目的

1. 分析导数在函数单调性、最值和极值判断中的作用；

2. 探讨导数的递推法在高考数学中的应用。

三、 研究意义

在高中生的数学学习中，函数贯穿高中数学的始终，而导数是他们接触到的函数中的重要内容之一。本研究的意义在于，为高中生数学学习提供了新的思路和方法，通过深入地研究导数，可以提高他们的数学应用能力，更好地应对高考中类似的问题，迎战高考。同时，本研究也为教师引导学生掌握导数方法提供了宝贵的经验和参考，帮助他们更好地引导学生的学习，提升教学效果，让学生不仅能够深入理解导数的概念和性质，更能够培养他们抽象思维能力和逻辑推理能力，增强他们的问题分析和解决能力，同时也为提高学生解答导数问题提供了理论支持和实践指导。

四、 基础知识

（一）导数的定义

在数学中，导数是描述某一点处的瞬时变化率。在形式上，函数f（x）在x=x0处的导数定义为f′（x0）=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0，这个极限如果存在也表示函数f（x）在x=x0处的切线的斜率。

（二）导数与函数的单调性

导数在函数的单调性分析中起着重要的作用，但是在应用导数来判断函数的单调性时需要捋清楚以下几点关系，本文以增函数为例讲解导数与函数单调性之间的关系，前提条件都是函数y=f（x）在定义域内是可导函数。

1. f′（x）>0与增函数的关系

若函数y=f（x）在定义域内有f′（x）>0，则函数f（x）在定义域内是增函数；但是f（x）如果是增函数，不能够得出f′（x）>0。例如，y=x3它在实数域R上单调递增，但是f′（x）≥0。综上，f′（x）>0是y=f（x）为增函数的充分不必要条件。

2. f′（x）≥0与增函数的关系

若函数y=f（x）为增函数，则一定能推出f′（x）≥0，但是反之不一定成立，因为f′（x）≥0，包括 f′（x）>0和f′（x）=0两种情形，但是f′（x）=0时该函数为常数函数，不存在单调性。所以，f′（x）≥0是函数为增函数的必要不充分条件。

3. f′（x）≠0时，f′（x）>0与增函数的关系

此时为充分必要条件。

综上，学生需要把握好以上三条关系才能更好地理解导数与函数单调性的关系，通过导数的正负性可以很轻松快速地判断函数的单调性，更好地把握函数的变化规律。对于减函数的情形以此类推。

（三）导数与函数的极值点

极值点的定义：若y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，如果对于该去心邻域内的任何x，恒有 f（x）<f（x0）（或者f（x）>f（x0）），则称f（x0）为f（x）的一个极大值点（极小值点）。

函数的极值点是一个局部的概念，它是指函数在局部取得的最大值和最小值点。导数也可以用于判断函数的极值点。如果在某点f′（x）由正变为负，则该点为y=f（x）的极大值点；相反地，如果在某点f′（x）由负变为正，则该点为y=f（x）的极小值点。

五、 实例分析

本文选择2018年高考数学全国3卷理科21题，这是一道涉及函数、导数、不等式等知识的综合压轴题，主要考查利用导数工具判断函数的单调性、最值、极值点的方法，同时也考查了学生对复杂概念的理解和运算求解的能力，下面具体看一下这道例题。

（一）导数的应用

【例1】 已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x。

（1）若a=0，证明：当-1<x<0时，f（x）<0；当x>0时，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a。

解：（1）当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，f′（x）=ln（1+x）-x1+x。

设函数g（x）=f′（x）=ln（1+x）-x1+x，则g′（x）=x（1+x）2。

当-1<x<0时，g′（x）<0；当x>0时，g′（x）>0。故当x>-1时，g（x）≥g（0）=0，且仅当x=0时，g（x）=0，从而f′（x）≥0，且仅当x=0时，f′（x）=0。

所以f（x）在（-1，+∞）单调递增。

又f（0）=0，故当-1<x<0时，f（x）<0；当x>0时，f（x）>0。

（2）（ⅰ）若a≥0，由（1）知，当x>0时，f（x）≥（2+x）ln（1+x）-2x>0=f（0），这与x=0是f（x）的极大值点矛盾。

（ⅱ）若a<0，设函数h（x）=f（x）2+x+ax2=ln（1+x）-2x2+x+ax2。

由于当｜x｜<min1，1｜a｜时，2+x+ax2>0，故h（x）与f（x）符号相同。

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的极大值点当且仅当x=0是h（x）的极大值点。

h′（x）=11+x-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）（2+x+ax2）2=x2（a2x2+4ax+6a+1）（x+1）（ax2+x+2）2。

如果6a+1>0，则当0<x<-6a+14a，且｜x｜<min1，1｜a｜时，h′（x）>0，故x=0不是h（x）的极大值点。

如果6a+1<0，则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故当x∈（x1，0），且｜x｜<min1，1｜a｜时，h′（x）<0，所以x=0不是h（x）的极大值点。

如果6a+1=0，则h′（x）=x3（x-24）（x+1）（x2-6x-12）2。则当x∈（-1，0）时，h′（x）>0；当x∈（0，1）时，h′（x）<0。所以x=0是h（x）的极大值点，从而x=0是f（x）的极大值点。

综上，a=-16。

评注：此题第（1）问也可以f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x2+x，令g（x）=ln（1+x）-2x2+x，因为2+x>0，判断g（x）的符号即可，只需求导一次。第（2）问切入容易，但深入较难，答案法的技巧性强，特别是“故x=0是f（x）的极大值点当且仅当x=0是h（x）的极大值点”，学生难以想到。

（二）第（2）问的常规解法探究

已知极值点求参数，一般只需要代入f′（0）=0即可求出参数，再代入检验。但这道题f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+ax2-x1+x，f′（0）=0恰成立，无法求出参数。考虑到是极大值点，f′（x）在0附近要左加右减，于是f′（x）要在0附近单调递减，考虑f（x）的二阶导数f″（x）=2aln（1+x）+3ax2+（4a+1）x（x+1）2，即 f″（x）要在0附近为负值。但这题同样有f″（0）=0，于是转化为f″（x）要以0为极大值点，又回到了开头的情形。用图示表示为：

可见，0处的各阶导数恰为0，导致问题进入了一个循环。若出现0处的某阶导数不恰为0，则可令其小于（大于）0或等于0，小于（大于）0的时候不需要检验（是充要条件），而等于0的时候则需要再检验两边的符号。

我们接着看这道题，现在f″（x）要以0为极大值点，于是f（0）=0且要在0附近左加右减，f（x）=2ax2+（6a-1）x+6a+1（x+1）3，f（0）=6a+1，不再恰为0，结束循环，令f（0）=0得a=-16，代入检验，f（x）=-13x（x+6）（x+1）3，满足在0附近左加右减，符合题意。综上：a=-16。

类似题还有2016年高考数学山东文20题第（Ⅱ）问：

【例2】 设f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R。

（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值。求实数a的取值范围。

解：f′（x）=lnx-2ax+2a，f′（1）=0恰成立，于是需二次求导f″（x）=1-2axx，f″（1）=1-2a，不再恰为0。令f″（1）<0，即a>12，则f′（x）在1附近递减，又f′（1）=0，于是满足题意。

令f″（1）=0，即a=12，此时f″（x）=1-xx，经检验应舍去。

评注：这道题之所以比2018年高考数学全国3卷理科21题简单，是因为f″（1）已经不再恰为0，不需要再次求导。

其实，在一些导数恒成立问题中也存在这种递推关系。

（三）导数恒成立问题中的递推

【例3】 （2011年高考数学新课标理科21题）设函数f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。

解：（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。

当x∈（-∞，0）时，f′（x）<0；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加。

（2）f′（x）=ex-1-2ax。

由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立。

故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而当1-2a≥0，

即a≤12时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0。

由ex&gt;1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0），从而当a>12时，f′（x）<ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1）（ex-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）<0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0，综合得a的取值范围为-∞，12。

答案中用到第一问的结论进行放缩，虽然这是合理的，但对大部分同学来说，仍然是难以想到的。若不用放缩，我们发现这题在端点0处函数值恰为0，思路用图示表示为：

f（x）≥0在x∈［0，+∞）恒成立若f（0）=0恰成立f′（x）需在0右边附近为正值，即 f′（0）≥0若f′（0）=0恰成立需f″（0）≥0若f″（0）=0恰成立需f（0）≥0……

可见，端点0处恰成立与0处的各阶导数恰为0，导致问题进入了一个循环。

解：f（0）=0恰成立，求导得f′（x）=ex-1-2ax，发现f′（0）=0恰成立，于是二阶求导，f″（x）=ex-2a，f″（0）=1-2a，不恰为0，于是不需要再求导，令f″（0）≥0，得a≤12（注意这只是必要条件，充分性还需要检验）。当a≤12时，f″（x）=ex-2a≥0，于是f′（x）=ex-1-2ax在［0，+∞）上单调递增，又f′（0）=0，于是f′（x）≥0，即f（x）在［0，+∞）上单调递增，又f（0）=0，于是f（x）≥f（0）=0。

下面的题目留给读者练习：

1. （2010年新课标文科21题）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2。

（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。（答案：（-∞，1］）

2. （2018年北京理科18题）设函数f（x）=［ax2-（4a+1）x+4a+3］ex。

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围。（答案：12，+∞）

六、 总结与展望

导数在数学的学习中具有重要的作用，特别是在函数的单调性、最值和极值点的应用中，我们可以通过导数的正负性、零点和变化趋势迅速地判断函数具体的变化情况。恒成立问题是近几年高考中常出现的问题，这类问题的难度较大，考查的知识点较综合，可能会涉及函数与方程、分类与整合等数学思想。需要教师在平时的授课中注意引导学生总结与提炼解题方法，以提升学生的数学应用能力与解题能力。

参考文献：

［1］杜中文.导数与函数的单调性［J］.考试周刊，2011（56）：78.

作者简介：杨培斌（1985～），男，汉族，安徽潜山人，安徽省怀宁县新安中学，研究方向：高中数学教学、高中教育教学管理。