基于整体视角下的分点式教学实践

【摘要】分点式教学注重知识本质的揭示和知识结构的联系，旨在发应用挥数学的内在力量，发挥学生的最大原动力，凸显知识的生长性.基于整体视角有效整合教学内容，挖掘知识之间的内在联系，从整体上把握教学内容，在提高学生对数学的兴趣的过程中，将数学意识和思维方式等融入数学的课堂教学过程中，有效落实学科核心素养.

【关键词】整体视角；初中数学；分点式教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出，人人都能获得良好的数学教育.不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养.分点式教学就是要让学生成为课堂真正的主人，教师仅仅是学生自主发展的指导者和引领者，让学生亲自经历知识的形成过程.打通单元知识内在联系，在变中求新、变中求进、变中突破，发挥学生的最大原动力.在课堂上，引导学生自主地参与教学过程，让他们提出一些新问题、新看法，可以发挥学生的创造性思维，引导学生总结解题方法，提升学生解决问题与应用知识的能力，有效落实学科核心素养.本文以“矩形中的折叠问题”的专题课为例，分享一点分点式的教学积累与思考与大家共同探讨.

1 教前分析

1.1 教学内容分析

在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学中的一个重要内容.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等图形问题的解决中，具有很重要的运用价值. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕（即对称轴）及其两侧的全等图形，利用轴对称的性质进行推理、计算.

1.2 学习目标

（1）学生通过对矩形有关折叠问题的探究，理解图形折叠的本质和其中所蕴含的数学知识和方法.

（2）学生通过对矩形折叠问题的变式练习，掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法，体验成功的快乐.

1.3 教学重、难点

重点 探究矩形中有关折叠问题，体会研究矩形折叠问题的方法.

难点 自主探究解决折叠问题的方法，运用方法解决折叠问题中求角度和求线段长的问题.

2 教学过程

2.1 创设情景，引入新课

布置课前作业 用一张矩形纸片，制作一件手工折纸作品，如图1、图2.

教学说明 创设生动活泼、贴近生活的问题情境，让学生主动参与，乐于探究，在不断观察、动手操作的过程中，激发学生学习动机和好奇心.同时让学生在亲身动手体验中透过现象看本质：折叠的实质就是轴对称变换.

2.2 师生互动，探究新知

（1）探究活动1

如图3所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E.

问题1 图中全等的图形有哪些？

问题2 图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？

问题3 图中还有哪些特殊的三角形？

教学说明 学生初遇翻折问题，往往一片茫然，不知从何下手，究其原因是对由折叠产生的相等线段和相等角这个条件找得不好.另外，因为折叠而形成的图形较抽象，需要一定的空间想象能力，而这方面能力是学生较欠缺的.通过活动的设计降低折叠的难度，教会学生解决折叠问题的方法.关注基础薄弱的学生，给予他们鼓励和信心.

（2）探究活动2

有一矩形纸片ABCD，按如图4方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.

问题1 图中全等的图形有哪些？

问题2 图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？

问题3 图中还有哪些特殊的三角形？特殊的四边形？

教学说明 强调折叠得全等，全等得边等、角等.找到相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形.抓住不变量，弄清折叠的本质，折叠过程中的变量和不变量.

及时地帮助学生梳理知识和方法，掌握解题方法和技巧.学会用数学的思维思考现实世界.

2.3 应用新知，变式练习

有一矩形纸片ABCD，按如图5方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.

问题1 角度的计算

若∠EFD＝65°，求∠AED.

教学说明 学生利用前面探究矩形折叠问题的方法，全等得到相等的角，再利用矩形的对边平行的性质可以求出角的度数.

问题2 线段的计算

若AD＝3，AB＝9，求BE的长.

教学说明：学生在矩形中求线段的长度，要把矩形中的折叠问题和勾股定理紧密结合，运用方程思想来解决问题.

问题3 面积的计算

求：四边形DEBF的面积.

教学说明 四边形DEBF是特殊的四边形菱形，求面积的方法不唯一，可用底×高，割补法，对角线乘积的一半等方法.

问题4 折痕的计算

求：EF的长．

教学说明 求EF的长方法不唯一，教师引导学生小组交流讨论，可以总结得到以下方法：构造直角三角形等积法、菱形的对角线等方法解决问题，通过多种方法，培养学生思维的发散性.

2.4 归纳总结，反思提升

此环节要留给学生足够的时间来自主总结，使学生学会反思、初步学会自我评价学习效果，鼓励学生大胆地谈谈本节的收获和体会. 生生之间相互补充，教师精准点拨，促使学生的学法和思维都能螺旋式上升，人人都能获得学习数学的成就感.

3 教学思考

3.1 依据课标和教材编教学案是基于整体视角下的分点式教学的前提

数学知识是一个系统的整体，教师在教学时要让学生了解知识的发生发展过程以及各知识之间的内在联系，把握数学内容的本质，建构研究问题的数学方法.教学时以学生的真实程度为基础，根据课标对教材进行详细的分析，将知识内容进行分解，设计合理的教学活动让学生动手操作，得到猜想，进行验证，让学生能够真正地体验到知识的形成过程.在“矩形中的折叠问题“的专题课中通过两个探究活动，总结出此类问题的解题思路.首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件；其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.

3.2 问题设计的合理性

要将所学的知识根据学情、难易度分解成若干个台阶，从低到高，易于学生理解和掌握，进而达到让不同的学生得到不同的发展的目的，同时也达到减负增效的目的.这就要求教师深入研究课程标准，吃透教材，了解学生，根据每个章节的知识点依照概念的引入过程、定理（公式）的发现过程，定理（公式）的应用过程，以及不同层次学生的教学目标，采取由低级向高级、由简单到复杂，由具体到抽象的循序渐进的方式设计教学活动和问题，使各层次学生的学习在各自的“最近发展区”得到最充分的发展.

有效的教学活动是以学生作为学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.本节课学生利用前面探究矩形折叠问题的方法，解决矩形中角度计算、线段计算、面积计算、折痕计算等问题，一题多变，图形不变，条件变，培养学生灵活运用知识的能力.弄清折叠的本质，折叠过程中的变量和不变量.采取由低级向高级、由简单到复杂，由具体到抽象的循序渐进的方式设计教学活动和问题，让所有程度的学生都能在他们自己的最近发展区中，获得最大程度的进步，掌握解题方法和技巧，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养.

让学生根据自己的已有知识和经验，用自己的思维方式，自由地、开放地去探究，去“再发现”“再创造”有关数学知识的过程.教师要把探索的时间和空间留给学生，多给学生设置一些开放性的问题，多为学生开展一些探索性的活动，帮助学生建立学习信心，相信“不同的学生在数学上得到不同的发展”，使学生的数学学习活动真正成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.新课程的理念强调要让学生通过观察、操作、提问、尝试、讨论、辩论等主体性活动，积极参与数学问题的生成，解决应用过程，这对促进学生的主动发展具有重要意义.

3.3 活动开展的充分性是基于整体视角下的分点式教学的核心

叶澜教授提出：人类的教育活动起源于交往，教育是人类一种特殊的交往活动.分点式教学强调有活动，必须有展示.有展示，必须有评价.就是“二评”：一评，小组评价.每练完一个知识点的训练题组，让学习小组进行评价，出现的问题由“生帮生”解决；二评，教师评价.在教学中，对所遇到的问题，进行适时的评估，把握“闪光点”，给予激励，从而激发其对数学的热情.在互评过程中，学生之间可以互相借鉴，互相之间也可以懂得如何去认识他人的优点，也可以去倾听他人的意见，还可以借鉴他人的经验，弥补自己的不足.

教师的评估一般都是以激励为主要方式，要擅长于寻找到学生身上的闪光点，要对学生的长项进行适时的表扬，即便学生错误的回答，也不能轻易地否认他们，而是要在激励的同时，委婉地提出他们的不足，这样才能避免影响到他们的信心和学习积极性.分点式的教学，以问题为中心，通过个人或团体的方式，作为交流的载体，全方位地提高学生的问题求解技能.师生应及时对所学知识与方法进行归纳，从学生熟悉的知识点切入，循序渐进，抓住课堂要点，及时调整教学过程，让学生在活动中获得经验和方法，在活动中发展思维能力，在活动中优化思维品质，整个教学过程体现了学生的主体性地位.重视学生数学表达能力和数学理解能力的培养，体现了数学学科的核心素养.

【基金项目：青海省“十四五”教育科学规划2023年度重点课题“初中数学大单元教学设计与分点式教学实践融合的策略研究”（课题编号：23QJG02）的阶段性研究成果】

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］章建跃.数学核心素养如何落实在课堂［J］.中小学数学（高中版），2016（03）：66.