逆向思维在初中数学解题中的应用

【摘要】新课改背景下初中数学教师在为学生讲解基础知识的同时，需要传授其必要的解题方式.逆向思维就是解决数学问题时常用的一种解题技巧，其是从结果出发逆向回推，从而快速得证.通过为学生讲解逆向思维解题方法，不仅能调动学生对数学学科的探究欲，更能锻炼学生数学思维的敏捷性与灵活性.本文通过4道典型例题阐述如何运用逆向思维解决初中数学问题.

【关键词】初中数学；逆向思维；解题技巧

在解答初中数学问题时，学生所采用的解题习惯以及思维方式均会对解题效率以及正确率产生重要影响［1］.传统模式下学生往往使用正向思维分析题干信息，按部就班解出答案，这可能会耗费大量的解题时间，更容易出现错误.逆向思维能够帮助学生快速理清题干内容，有效突破惯性思维，让学生充分运用所学知识进行反向推导，最终快速有效地解题［2］.研究发现，逆向思维能够引导学生发散思考，提高初中学生思维的敏捷性与灵活性，培养学生形成良好的创新意识［3-5］.

1 否定性命题中逆向思维的运用策略

例1 已知：△ABC的三个内角是∠A、∠B、∠C.请证明：∠A、∠B、∠C内不会出现两个角是直角的情况.

解析 当一个证明类问题里存在“不能”“不会”“没有”“不是”等字眼时，学生就需引起重视，这属于十分典型的否定性命题结构.如果学生想要直接证明该结论，首先需要对存在的所有可能性进行整合，其次逐一论证，整个过程十分复杂，且耗费时间.但如果学生采用逆向思维来进行解答，则能够有效提升解题效率.

证明 假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，

可设∠A=90°，∠B=90°，

那么∠A+∠B+∠C>180°，

上述推导结果和“三角形内角和是180°”定理不符.

二者互相矛盾，因此∠A=90°，∠B=90°的假设不成立，

就说明∠A、∠B、∠C内不会出现两个角是直角的情况.

2 存在性命题中逆向思维的运用策略

例2 若我们通过O点绘制7条直线，请大家证明：相邻的两条直线中，必然有一个以O为顶点的夹角度数小于26°.

解析 当题干中出现“存在”“有”等字眼时，授课教师可以引导学生使用逆向思维进行解答，将假设内容变成“没有一个”.第一步，由于题干指出通过O点的直线为7条，因此两两相邻形成的夹角数量为14个，且14个夹角度数的总和为360°.在运用逆向思维探究时，就可以假设14个夹角的度数均不小于26°；第二步，将14个夹角的度数相加，比较其与360°的大小，就能够证明该命题.

证明 把O作为顶点，两两相邻的直线能够产生14个夹角，且这些角能够围成一个周角，

假设14个角都不小于26°，

可推出，14个角的度数之和应当不小于14×26°=364°>360°，

该结论与“周角的度数是360°”的定理不符，

进而推出，必然有一个以O为顶点的夹角度数小于26°.

3 “至少”“至多”命题中逆向思维的运用策略

例3 给出任意三个实数，a<b－c、b<c－a、c<a－b三个不等式中，至多同时成立两个不等式.

解析 很多学生在看到题干中“至多”等字眼时会感到十分棘手，不知该如何解答.此时数学教师可引导学生使用逆向思维分析，首先假设上述所有不等式同时成立，再逐步进行推导.

证明 由于a、b、c为实数，可假设三者为数轴上的三个点，具体如图1中的A、B、C.

那么a=OA，

b=OB，

c=OC，

b－c=BC，

c－a=AC，

a－b=AB.

假设所有不等式同时成立，

即a<b－c，

b<c－a，

c<a－b，

所以，AO<BC，OB<AC，OC<AB，

此外，OC=OB+BC>OB+OA=AB，

推断出，OC>AB，这与原本的假设内容互相矛盾，

因此a<b－c、b<c－a、c<a－b三个不等式中至多同时成立两个不等式.

例4 已知f（x）=x2+px+q，请证明：f（1）、f（2）、f（3）内至少有一个数值不小于12.

解析 当题干中出现“至少”等字眼时，学生同样可以使用逆向思维进行分析.因此，我们可以将问题假设成：f（1）、f（2）、f（3）三个数值均小于12，再推导得出不成立即可.

证明 假设f（1）、f（2）、f（3）三个数值均小于12，

即1+p+q<12 （1），

4+2p+q<12 （2），

9+3p+q<12 （3），

那么－32<p+q<－12 （4），

－92<2p+q<－72 （5），

－192<3p+q<－172 （6），

将（4）式与（6）式联立：

－112<2p+q<－92 （7），

由此可发现：（5）式和（7）式互相矛盾，因此原命题正确.

4 结语

在带领学生解答初中数学问题时，授课教师需要为学生讲解逆向思维的内涵以及具体解题思路，通过典型例题来提高学生对逆向思维的实践运用能力，不断完善学生的逻辑思维，切实提高学生的解题效率.

参考文献：

［1］翟悦涵.逆向思维、出其不意：反证法在初中数学解题中的应用［J］.中学数学，2023（24）：68-70.

［2］姜倩梅.逆向思维在初中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2023（32）：35-37.

［3］尹家惠.初中数学教学中如何培养学生的逆向思维能力［J］.中学课程辅导，2023（32）：96-98.

［4］李洪辉.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养方法［J］.试题与研究，2023（33）：1-3.

［5］孙崇美.初中数学解题能力培养教学创新策略刍议［J］.学苑教育，2023（31）：19-21.