基于梯形模糊数的动态混合多属性群决策方法

DOI：10.3969/j.issn.10001565.2024.04.001

摘要：基于梯形模糊数信息环境，研究动态混合多属性群决策问题.给出梯形模糊数的转化方法及梯形模糊数信息的加权综合集结方法，定义动态梯形模糊加权几何算子；提出不同类别权重的确定方法，利用决策专家的赋值离差和最小化方法确定决策者的权重，运用离差最大化模型确定属性权重，基于熵权法和Orness测度赋权法计算时间权重；在此基础上，利用VIKOR（多准则妥协解排序）法提出一种基于梯形模糊数的动态混合多属性群决策方法，并通过算例验证其可行性与有效性.

关键词：梯形模糊数；动态混合多属性群决策；加权几何算子；VIKOR法

中图分类号：C934文献标志码：A文章编号：10001565（2024）04033709

Dynamic hybrid multi-attribute group decision making method

based on trapezoidal fuzzy number

LIN Peng1， DONG Chunru2， LIU Pingping1

（1.College of Management，Hebei University，Baoding 071002，China;

2.College of Mathematics and Information Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

Abstract： Based on trapezoidal fuzzy number information environment， the problem of dynamic mixed multi-attribute group decision making is studied. The transformation method of trapezoid fuzzy number and the weighted synthesis method of trapezoid fuzzy number information are given， and the dynamic trapezoid fuzzy weighted geometric operator is defined. The weight of decision-makers is determined by using different expert distance deviation and minimization methods. The attribute weight is determined by using deviation maximization model. The time weight is calculated based on entropy weight method and Orness measure weighting method. On this basis， a dynamic hybrid multi-attribute group decision-making method based on VIKOR method is proposed and the feasibility and effectiveness of the method is verified by a numerical example.

Key words： trapezoidal fuzzy number; dynamic hybrid multi-attribute group decision making; weighted geometric operator; VIKOR method

多属性决策是现代决策科学的重要研究方向，在经济、管理、工程、技术等领域有着非常广泛的应用，然而在实际决策过程中，经常会遇到属性值为不同数值类型的动态混合多属性群决策问题，这种情况广泛存在于绩效评估、医疗诊断、长期投资效益评估等领域.随着经济社会的快速发展，越来越多的决策问题呈现长期性、复杂性和系统性的特点，因此研究复杂的动态群决策问题具有重要的现实意义.

收稿日期：20230522;修回日期：20230910

基金项目：河北省社会科学基金资助项目（HB22GL053）

第一作者：林鹏（1982—），男，河北大学副教授，博士，主要从事决策方法与应用研究.E-mail：linpeng@hbu.edu.cn

梳理现有文献发现，关于动态混合多属性群决策问题研究较少，目前还处于起步阶段.熊小玲［1］提出了一种将混合型属性信息统一转化为实数，通过集结各时段的群决策矩阵，再生成动态综合评价值的决策方法；裴凤等［2］针对三参数区间灰数与三角模糊数共存的动态多属性群决策问题，提出一种基于前景理论和两参照点的动态解决方法；Ghorabaee等［3］提出了一种基于EDAS的处理动态模糊多属性群决策的方法；Wang等［4］在模糊环境下，考虑到决策环境的动态演变，包括属性值、标准和决策者的变化，以及决策者在处理应急问题时的犹豫性，提出了一种动态混合多属性群决策方法；Zhang等［5］在考虑属性和决策者权重的基础上，对传统的GrC框架多粒度概率模型进行了改进，同时结合MULTIMOORA方法，建立了面向多属性群决策问题的具有双重犹豫模糊（DHF）信息的多颗粒概率模型，解决了群决策中的信息描述、融合和分析阶段的问题；Li等［6］针对模糊变量转换为数值导致信息失真的问题，用二元组语言值来表示定性属性，并基于动力学观点，研究了动态多属性群体决策办法;Liu等［7］通过对专家偏好和权重进行调整，建立动态混合信任关系网络和双路径反馈机制，以提高决策者的共识，较好地解决了直觉模糊环境下的多属性群决策问题.

将混合多属性的数值统一转化为实数，会使模糊数的属性值“失真”，而选取属性值为三参数区间灰数与三角模糊数，应用范围存在一定局限性；虽然Ghorabaee等后来的研究者利用模糊集减少了群决策的信息失真问题，提出了一些有效的改进方案，但对时间、专家以及属性的赋权仅仅是主观的，一定程度上并未真正地解决在实际环境中的不同多属性信息类型的群决策问题.本文利用梯形模糊数在表示不确定信息时具有更加直观、计算简单的特点［8］，通过将不同类型多属性信息统一转化为梯形模糊数，采用主观和客观相结合的赋权方式，提出一种基于梯形模糊数的动态混合多属性群决策方法，并通过算例进行了验证.

1动态混合多属性决策的基本方法

1.1梯形模糊数的转化

基于梯形模糊数的优势，选择将不同类型的数据信息统一转化为梯形模糊数进行评价，具体转化方法如下［8］：

1）实数转化为梯形模糊数

设有实数a～=a，a∈R，则转化为梯形模糊数的形式为a～=（a，a，a，a）.（1）2）区间数转化为梯形模糊数

设区间数a～=［aL，aU］，则转化为梯形模糊数的形式为a～=（aL，aL，aU，aU）.（2）3）三角模糊数转化为梯形模糊数

设三角模糊数a～=（aL，aM，aU），则转化为梯形模糊数的形式为a～=（aL，aM，aM，aU）.（3）4）直觉模糊数转化为梯形模糊数

设直觉模糊数a～=（μa，νa），则转化为梯形模糊数的形式为a～=（μa，μa，1-νa，1-νa）.（4） 5）区间直觉模糊数转化为梯形模糊数

设区间直觉模糊数a～=（μ～a（x），ν～a（x））=（［μ～La（x），μ～Ua（x）］，［ν～La（x），ν～Ua（x）］），则转化为梯形模糊数的形式为a～={inf μa（x），sup μa（x），1-sup νa（x），1-inf νa（x）}=（μ～La（x），μ～Ua（x），1-ν～Ua（x），1-ν～La（x））.（5） 6）多粒度语言值转化为梯形模糊数

设语言值标度a～={s1，s2，…，sk，…，sp}，则转化为梯形模糊数的形式为a～=0，0，1p，1p，1p，1p，2p，2p，…，k-1p，k-1p，kp，kp，…，p-1p，p-1p，1，1.（6）7）二元语义转化为梯形模糊数

设二元语义a～=（st，at），则转化为梯形模糊数的形式为a～=t-1p+atp，t-1p+atp，tp，tp，-0.5≤at≤0，t-1p，t-1p，tp+atp，tp+atp，0＜at＜0.5.（7）1.2动态混合多属性决策中的赋权方法

1.2.1专家权重的确定方法

群决策的过程是个体决策者相互妥协、达成一致意见的过程，为确定能够共同认可的方案，决策者一般会采取择近原则.基于此，利用接近度概念提出确定决策者权重的接近度最小化赋权法，即通过个体专家决策与其他专家决策接近度和的大小来确定该决策者的权重，具体公式如下：fk=∑lh=1，h≠k∑mi=1∑nj=1d（xkij-xhij），k=1，2，…，l，（8）

νk=1fh/∑lh=11fh，k=1，2，…，l，（9）其中：xkij表示第k个专家pk对第i个方案Si在第j个属性cj上给出的评价信息；d（xkij-xhij）表示专家pk对xkij的赋值与专家ph对xhij的赋值的距离；fk表示专家pk的决策与其他专家决策的离差和；νk表示专家pk的权重.

1.2.2属性权重的确定方法

设混合多属性决策问题方案集S={S1，S2，…，Sm}，C={c1，c2，…，cn}代表n个属性的集合，经过转化，属性cj（j∈n）的评价值a～ij（i∈m，j∈n）为梯形模糊数形式，A～=（a～ij）m×n为决策矩阵，其中a～ij=（aLij，aMij，aNij，aUij）（i∈m，j∈n）为方案Si在属性cj下对应的梯形模糊信息；W=（w1，w2，…，wn）T表示n个属性的权重指标向量，满足∑nj=1wj=1和wj＞0.

根据离差最大化原理［9］，利用梯形模糊决策矩阵A～=（a～ij）m×n=（aLij，aMij，aNij，aUij）m×n，对于属性cj，决策方案Si与其他方案Sk之间的距离用Dij（w）表示，并定义为 Dij（w）=∑mk=1d（A～ij，A～kj）=∑mk=1wj14［（aLij-aLkj）2+（aMij-aMkj）2+（aNij-aNkj）2+（aUij-aUkj）2］，（10）

Dj（w）=∑mi=1Dij（w）=∑mi=1∑mk=1d（A～ij，A～kj）=

∑mi=1∑mk=1（wj14［（aLij-aLkj）2+（aMij-aMkj）2+（aNij-aNkj）2+（aUij-aUkj）2］），（11）其中：Dij（w）表示属性cj下，每一个方案与其他方案的总离差；i，k=1，2，…，m;j=1，2，…，n.

在梯形模糊信息环境下，属性权重的选择应使所有属性对所有决策方案的总离差最大，此时，属性权重应满足以下模型：max D（w）=∑nj=1Dj（w）=∑nj=1∑mi=1∑mk=1（wj14［（aLij-aLkj）2+（aMij-aMkj）2+（aNij-aNkj）2+（aUij-aUkj）2］），s.t.∑nj=1w2j=1，wj≥0，j=1，2，…，n.（12）求解该模型并进行归一化处理，可得属性权重wj=∑mi=1∑mk=1（［（aLij-aLkj）2+（aMij-aMkj）2+（aNij-aNkj）2+（aUij-aUkj）2］）∑nj=1∑mi=1∑mk=1（［（aLij-aLkj）2+（aMij-aMkj）2+（aNij-aNkj）2+（aUij-aUkj）2］），j=1，2，…，n.（13） 1.2.3时间权重的确定方法

时间权重反映动态决策过程中不同时段的重要程度，本研究利用熵权法［10］和Orness测度赋权法［11］，提出一种主、客观相结合的时间权重计算方法.

1）熵权法

用m个方案在h个时段的总和评价（效用）值rij，构建群决策中各个时段的决策矩阵R=（rij）m×h：R=r11r12…r1hr21r22…r2hrm1rm2…rmh，（14）其中，rij为第j个时段第i个方案的群决策综合评价（效用）值.

计算可得各时段的熵值ej和熵权αj分别为ej=-1ln m∑mi=1rij∑mi=1rijlnrij∑mi=1rij，（15）

αj=1-ej∑hj=1（1-ej）.（16）

2）Orness测度赋权法

根据文献［11］，设βj为第j时段的主观权重，且满足βj≥0，（j=1，2，…，h），∑hj=1βj=1，则称βj的Orness测度水平为τ，Orness（Θ）=∑hj=1h-jh-1βj=τ， （0≤τ≤1）.（17）对于一个时段来说，Orness测度体现了决策者对不同时间点的偏好程度.τ越接近0，则说明决策者认为近期信息比较重要；反之，τ越接近1，则说明决策者越重视早期信息；若τ=0.5，表明决策者认为各阶段的权重相同，即βj=1h.

3）确定时段的综合权重θj

根据熵权法确定的时段的客观权重αj和Orness测度确定的主观权重βj，可组合生成各时段的综合权重θj，θj=αjβj∑hj=1（αjβj），j=1，2，…，h.（18）2动态混合多属性群决策方法

2.1问题描述

设有l个专家组成的决策群体集P={p1，p2，…，pl}，l≥2；m个备选方案构成的方案集S={S1，S2…，Sm}，m≥2；有限属性集C={c1，c2，…，cn}，n≥2，属性集可以写成C=C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，其中，Cs（s=1，2，3，4，5，6）分别表示评价信息为实数、区间数、三角模糊数、区间直觉模糊数、多粒度语言评价值、二元语义等数据类型，Cu∩Cν=，（u，ν=1，2，3，4，5，6;u≠ν），为空集.T={t1，t2，…，th}表示h个时段.专家pk在td阶段给出各方案属性的评价信息构成群决策矩阵A～kd=a～kdij，（1≤k≤l，1≤d≤h，1≤i≤m，1≤j≤n），a～kdij表示专家pk在td阶段对方案Si在属性cj上给出的评价信息，评价信息的类型为Cs，1＜s＜6.当j∈C1时，属性评价值a～kdij为实数；当j∈C2时，属性评价值a～kdij为区间数［aLij，aUij］；当j∈C3时，属性评价值a～kdij为三角模糊数［bLij，bMij，bUij］；当j∈C4时，属性评价值a～kdij为区间直觉模糊数（μij，νij）；当j∈C5时，属性评价值a～kdij为多粒度语言值sij；当j∈C6时，属性评价值a～kdij为二元语义（rij，aij）.时间权重向量为Θ=（θ1，θ2，…，θh）T，其中，θd为第td个决策时段的权重，满足∑hj=1θd=1和θd＞0.属性权重向量Wkd=（wkd1，wkd2，…，wkdn）T，1≤d≤h，其中，wkdj为第k个专家在td时段的属性cj的权重，满足∑nj=1wkdj=1和wdj＞0.专家的权重向量为νd=（νd1，νd2，…，νdl），∑lk=1νdk=1，其中，νdk表示专家pk在td时段的权重.

2.2梯形模糊数信息的加权综合集结方法

为考虑决策者意见的平衡性，实现群决策意见的一致性，在Sanayei等［12］提出方法的基础上，本文提出梯形模糊数信息的加权综合集结法，即将决策者的权重与各决策者给出的评价信息进行综合生成加权评价值，再通过各决策矩阵的相应属性加权评价值下限的最小值和上限的最大值，中间值为对应属性加权评价值中间值的均值，构建群决策矩阵，以实现群决策信息的集结.

设a～kij=（akLij，akMij，akNij，akUij）为第k个专家对第i个方案的第j个属性做出的评价值，则梯形模糊数决策信息的加权综合集结模型为a～ij=（aLij，aMij，aNij，aUij）=（min{λkakLij}，1l∑lk=1（λkakMij），1l∑lk=1（λkakNij），max{λkakLij}），（19）其中：aLij=min{λkakLij}，aMij=1l∑lk=1（λkakMij），aNij=1l∑lk=1（λkakNij），aUij=max{λkakLij}，k=1，2，…，l;i=1，2，…，m;j=1，2，…，n.2.3动态梯形模糊加权几何算子（DTFWG）

为解决信息环境下方案排序问题，定义动态梯形模糊加权几何算子（DTFWG），具体如下：

设a～t1.a～t2，…，a～th为h个时段的梯形模糊数，其中a～td=（aLtd，aMtd，aNtd，aUtd），d=1，2，…，h；定义θ（t）=（θ（t1），θ（t2），…，θ（th））为多阶段序列{td}（d=1，2，…，h）的权重向量，其中θ（td）为第td时段的权重，满足∑hd=1θ（td）=1和θ（td）＞0，则有DTFWGθ（t）（a～t1，a～t2，…，a～th）=∏hd=1a～θ（td）td=∏hd=1a～Lθ（td）td，∏hd=1a～Mθ（td）td，∏hd=1a～Nθ（td）td，∏hd=1a～Uθ（td）td.（20）2.4基于梯形模糊数的动态混合多属性群决策

根据梯形模糊数的运算法则和定义的DTFWG算子，提出一种基于梯形模糊数和VIKOR（多准则妥协解排序）方法的动态混合多属性群决策方法.具体步骤如下：

步骤1 在每个td（d=1，2，…，h）时段，将不同决策专家的混合多属性决策矩阵统一转化为规范化的梯形模糊数决策矩阵.

首先根据式（1）～（7），将l个专家在td（d=1，2，…，h）时段给出的混合多属性决策矩阵转化为梯形模糊数矩阵A～kd=（a～kdij）m×n，k=1，2，…，l.其中，a～kdij=（akLdij，akMdij，akNdij，akUdij）m×n，1≤k≤l，1≤d≤h，1≤i≤m，1≤j≤n.然后根据文献［13］的规范化方法，将梯形模糊数矩阵规范化.对于效益型属性，规范化公式为（fLij，fMij，fNij，fUij）=1∑mi=1aUij（aLij，aMij，aNij，aUij），1≤j≤n.（21）对于成本型属性，规范化公式为（fLij，fMij，fNij，fUij）=1∑mi=11aLij1aUij，1aNij，1aMij，1aLij，1≤j≤n.（22）步骤2利用式（8）、式（9），确定每个时段的专家决策权重.

步骤3根据每个时段的专家决策权重，利用式（19）将该时段的每个专家决策矩阵集结为td时段的梯形模糊群决策集结矩阵.

步骤4确定td时段的梯形模糊群决策集结规范化矩阵的正理想解f+j和负理想解f-j.f+j=（max1≤i≤m fLij，max1≤i≤m fMij，max1≤i≤m fNij，max1≤i≤m fUij），1≤j≤n，（23）

f-j=（min1≤i≤m fLij，min1≤i≤m fMij，min1≤i≤m fNij，min1≤i≤m fUij），1≤j≤n.（24） 步骤5确定td时段的属性权重.本研究假设权重信息完全未知，可以根据式（13）确定属性权重.

步骤6利用梯形模糊数的运算法则和VIKOR方法［14］确定td时段各方案的群体效用值、个体遗憾值和折衷值.

备选方案的群体效用值Si、个体遗憾值Ri以及折衷值Qi，i=1，2，…，m，分别为Si=∑nj=1wj（f+j-fij）/（f+j-f-j），（25）

Ri=maxj［wj（f+j-fij）/（f+j-f-j）］，j=1，2，…，n，（26）

Qi=ν（Si-S+）/（S--S+）+（1-ν）（Ri-R+）/（R--R+），（27）其中：wj表示第j个属性的权重；S+=mini Si，S-=maxi Si，R+=mini Ri，R-=maxi Ri.ν为折衷系数，表示最大化群体效用的权重，当νgt;0.5时，表示根据最大化群体效用（占多数准则）的决策机制进行决策；若νlt;0.5，则根据最小化个体遗憾值（个人否决准则）的机制进行决策； ν=0.5表示最大化群体效用与最小化个体遗憾值平衡（协商准则）的结果，即决策者达成一致的结果.

步骤7将每个时段的梯形模糊群决策集结规范化矩阵的折衷值，利用式（18），综合确定每个时段的权重，其中假设τ=0.5，即主观权重相同.

步骤8利用式（20），即DTFWG算子，对各时段各方案的群体效用值、个体遗憾值和折衷值分别进行集成，并得到相应的序列表.

步骤9根据排序条件1和排序条件2，确定最优方案排序.

3算例

设方案A1、A2、A3构成混合多属性决策问题的方案集.C={C1，C2，C3，C4，C5}为属性集，其中，属性C1的数据类型为实数，C2的数据类型为区间数，C3的数据类型为三角模糊数，C4的数据类型为区间直觉模糊数，C5的数据类型为语言值.自然语言集为S={s1，s2，s3，s4，s5，s6，s7}，其中s1=FC（非常差），s2=HC（很差），s3=C（差），s4=YB（一般），s5=H（好），s6=HH（很好），s7=FH（非常好）.3名专家pk（k=1，2，3）在ti（i=1，2，3）时段分别对方案集给予评价，评价数据如表1～3所示.属性权重、决策者权重和时间权重信息均未知，时间权重的主观权重相同.下面利用基于梯形模糊数的动态混合多属性群决策方法进行计算验证.

步骤1将3个时段的混合多属性群决策矩阵统一转化为规范化梯形模糊数群决策矩阵.

步骤2确定每个时段的专家决策权重.

t1时段的专家权重向量为（0.306 1，0.354 7，0.339 2）T；t2时段的专家权重向量为（0.310 7，0.349 7，0.339 6）T；t3时段的专家权重向量为（0.392 4，0.287 7，0.320 0）T.

步骤3根据3个时段的专家决策权重，将该时段的每个专家决策矩阵集结为该时段的梯形模糊群决策集结矩阵.

步骤4分别确定3个时段的梯形模糊群决策集结规范化矩阵的正理想解和负理想解.

步骤5由于属性权重信息完全未知，根据式（13）确定3个时段的各属性权重向量.Gt1=（0.143 8，0.224 3，0.087 0，0.194 5，0.350 4）T，

Gt2=（0.001 0，0.020 4，0.000 9，0.254 5，0.723 2）T，

Gt3=（0.190 2，0.170 0，0.050 9，0.290 3，0.298 6）T.步骤6利用梯形模糊数的运算法则和VIKOR方法分别确定3个时段各方案的群体效用值、个体遗憾值和折衷值.

步骤7利用式（18），假设主观权重相同，综合确定每个时段的权重.θt1=0.357 0，θt2=0.355 5，θt3=0.287 6.步骤8利用动态梯形模糊加权几何（DTFWG）算子，对各时段各方案的群体效用值、个体遗憾值和折衷值分别进行集成，并得到相应的序列表.S=0.914 20.507 10.040 8，R=0.433 00.261 40.038 4，Q=1.000 00.503 30.步骤9根据排序条件1和排序条件2，确定最优方案排序，如表4所示.表4按S、R、Q值由小到大对各区域排序

Tab.4Ranking each region from small to large according to S， R and Q values项目排序SA3A2A1RA3A2A1QA3A2A1

计算可知，QA3-QA2=0.503 3＞1m-1=0.5.由此判断，满足2个条件.因此，A1、A2、A2 3个方案，经过3名专家对3个不同时段的综合评价，排列顺序为A3A2A1，即方案A3最优.由此判断，本文提出的方法可行.

4结论

在实际生活中，动态混合多属性群决策问题较为常见但解决方法较少，其难点主要体现在混合多属性数值的计算、群决策的权重以及时间权重的计算方法等.本文将多种类型的信息形式统一转化为梯形模糊数；然后通过个体专家决策的赋值离差和最小化方法，确定决策者的权重，并利用梯形模糊数的加权综合集结法构建群决策矩阵，借助于时间权重计算方法和DTFWG，提出一种动态混合多属性群决策方法，为解决复杂情况下的多属性决策问题提供了一种新的解决思路.

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（责任编辑：王兰英）