不等长金属双棒切割磁感线问题的分析与讨论

摘 要：在匀强磁场中，两根不等长金属棒垂直导轨放置，其中一根具有垂直于磁场的初速度或受到恒力作用，分别就这两类模型分析两金属棒的动力学特征以及整个回路的电学特征，并对结果进行必要讨论。

关键词：不等长金属双棒；切割磁感线；定量分析

电磁感应中的导轨/双棒复合结构（简称“双棒模型”）问题是一类典型的电磁学与动力学相结合的综合性问题，［1，2］其中不等长双棒问题对学生思维能力的要求更高。本文分别以一根金属棒具有初速度或受到恒力作用的两类常见不等长双棒模型为研究对象，通过构建、求解双棒的运动微分方程，结合函数图像，在可视化的条件下探索其运动和电学特性，以期获得不等长双棒模型的一般规律，为解决此类复杂问题提供参考。［3］

1 金属棒1有初速度的不等长双棒模型如图所示，光滑绝缘的水平桌面上固定两根“Z型”导轨，导轨足够长，忽略其电阻。在宽轨道部分有一金属棒1，其质量为m1，有效长度为l1，电阻为R1；在窄轨道部分有一金属棒2，其质量为m2，有效长度为l2，电阻为R2；整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属棒1一个初速度v0，运动过程中两金属棒始终与导轨保持垂直和良好接触，并且金属棒1始终在宽轨道部分运动，分析两金属棒的运动特征及其回路的电学特征。

1.1 建模求解

金属棒1开始运动，回路面积有变小趋势，根据楞次定律分析可知，回路中产生逆时针方向的感应电流。金属棒1受到与v0方向相反的安培力作用，金属棒2受到与v0方向相同的安培力作用而开始运动。两金属棒均切割磁感线，产生动生电动势。若金属棒1的速度为v1时，金属棒2的速度为v2，则由闭合电路欧姆定律可得感应电流的大小为

由图3、图4可知，回路电流随时间减小得越来越慢，最终趋于零。因此通过金属棒某一横截面的电量随时间增加得越来越慢，最终趋于一个定值。由（11）式，当t→∞时，可得q∞＝m1m2l1v0（m1l22＋m2l21）B，q∞与回路电阻无关。

那么回路电阻影响了什么？观察⑥～（11）式，可知这6个物理量都有一个关于e－kt的函数，其中k＝B2（m1l22＋m2l21）m1m2（R1＋R2），k的大小决定回路达到稳定状态所需要的时间，如图5所示。比较不同电阻回路的i-t图像，回路总电阻R越大，k越小，电流趋于零所需要的时间越长。

2 金属棒1受恒力作用的不等长双棒模型如图1所示，在上述金属棒1有初速度的不等长双棒模型中，撤去给金属棒1的初速度v0，改为给金属棒1一个恒定外力F的作用，其他条件不变，分析两金属棒的运动特征及其回路的电学特征。

2.1 建模求解

与上一模型类似，回路中仍然产生逆时针方向的感应电流。若金属棒1的速度为v1时，金属棒2的速度为v2，则由闭合电路欧姆定律可得感应电流的大小为

2.2 结果讨论

为了方便画出函数图像，赋值m1＝2kg，l1＝2m，R1＝2Ω，m2＝1kg，l2＝1m，R2＝1Ω，B＝5T，F＝1N，得到金属棒各物理量随时间变化图像（如图6、7、8、9所示）。

由图6、图7可知，金属棒1做加速度逐渐减小的加速运动，稳定状态是趋近于匀加速直线运动；金属棒2做加速度逐渐增大的加速运动，稳定状态也是趋近于匀加速直线运动。令（15）（17）式中t→∞，易得稳定时a2∞＝Fl1l2m1l22＋m2l21，a1∞＝Fl22m1l22＋m2l21，稳定时的加速度与磁场、回路电阻无关。由于l1＞l2，两金属棒的v-t图像会有个交点，即共速；若l1＜l2，两金属棒不会有共速的机会，如图8所示。

由图9可知，回路电流随时间增大得越来越慢，最终趋于一个定值。令（19）式中t→∞，易得稳定时i∞＝Fm2l1B（m1l22＋m2l21），即最终通过金属棒某个横截面的电量均匀增加（如图10所示）。

同样地，我们发现（15）～（20）式中6个物理量都有一个关于e－kt的函数，其中k＝k2k1＝B2（m1l22＋m2l21）m1m2（R1＋R2），k的大小决定回路达到稳定状态所需要的时间，k与F无关。由图11可知，比较不同电阻回路的i-t图像可以发现，回路总电阻R越大，k越小，回路达到稳定状态所需要的时间越长。

3 结语本文通过解微分方程组，并对结果赋值画出函数图像，分别对不等长双棒模型中的“一棒有初速度”和“一棒有恒力作用”两类模型进行了较为详细的探索。结果表明：两类模型的所有物理量都有一个关于e－kt的函数，当函数中的t→∞时，e－kt＝0。模型1中两金属棒都做加速度逐渐减小的变加速运动，最终都做匀速直线运动，回路中的电流趋近于零，通过金属棒某一横截面的电量趋近于一个定值；模型2中，有恒力作用的金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，另一金属棒做加速度逐渐增大的加速运动，最终分别趋近于做匀加速直线运动，回路中的电流趋近于一个定值，通过金属棒某一横截面的电量趋近于线性增大。值得注意的是，决定这两个模型趋近于稳定态的常数k＝B2（m1l22＋m2l21）m1m2（R1＋R2），由两金属棒的固有属性（质量、长度）电阻和磁场的磁感应强度决定，与金属棒的初始条件无关。

参考文献

［1］滕文静.电磁感应中的“单双杆问题”浅析［J］.中学物理教学参考，2020，49（15）：63-64．

［2］肖云剑.电磁感应之“双棒模型”［J］.湖南中学物理，2019，34（12）：88-90．

［3］唐武建，高忠贵，张妙静.基于高观点的等距双棒模型研究［J］.物理通报，2022（7）：92-95．