最高点水平速度一定相等吗

摘   要：在高中物理动量守恒定律学习过程中，经常遇到水平方向动量守恒问题，学生解决这类问题往往通过经验去建立表达式，教师的讲解看似合理，却可能有违逻辑本质。探讨了四类经典模型，揭示了最高点水平速度的特点，从本质上解决了师生长期以来存在的困惑。

关键词：关联速度；分解；水平速度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）6-0068-3

在研究水平方向动量守恒时，经常遇见“物块－斜面”“小球-曲面”“小球-四分之一圆弧”“小球－滑环”模型。这部分知识对学生来说是一个难点，对教师教学也是难点，教师们往往直接给出结论——在最高点水平速度相等；或者定性分析，以“物块－斜面”模型为例，若物块的水平速度大于斜面的速度，则物块在斜面上处于上升阶段，若物块的水平速度小于斜面的速度，则物块在斜面上处于下降阶段，当物块在斜面上到达最高点时，二者水平速度相等。这种解释看似合理，实则比较笼统，缺乏严密性，容易误导学生。本文利用关联速度破解这一难点。

１    “物块－斜面”模型

在“物块－斜面”模型中，把物块的速度分解为水平方向和竖直方向，再利用关联速度知识，即物块和斜面在垂直接触面上的分速度相等，即可证明二者在水平方向速度的大小关系。

例题１ （２０１６年全国ＩＩ卷理综第３５题）如图１所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面３ ｍ/ｓ的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为ｈ＝０．３ ｍ（ｈ小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为ｍ１＝３０ ｋｇ，冰块的质量为ｍ２＝１０ ｋｇ，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小ｇ＝１０ ｍ/ｓ２。

（１）求斜面体的质量；

（２）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

解析 （１）规定向右为速度正方向。冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为ｖ，斜面体的质量为m3。由水平方向动量守恒定律和机械能守恒定律得

式中v2=-3 m/s，为冰块推出时的速度。联立两式并代入题给数据得m3=20 kg。

（２）略。

第（１）问中直接得出冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，学生不甚理解，现证明如下。

如图２所示，将冰块的水平速度vx和竖直速度vy分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，其垂直斜面方向的合矢量的大小为vxsinθ-vycosθ，再将斜面体的速度v分解为沿着斜面方向和垂直斜面方向，其垂直斜面方向的分速度为vsinθ，由关联速度知识可知，相互作用的物体在垂直接触面上的速度相等，即

结论１ 当物块上升到最大高度时，vy=0，则vx=v，即物块的水平速度等于斜面体的速度。

结论２ 当物块能冲出斜面，在斜面的最高点时，vy≠0，则vx≠v，即物块的水平速度不等于斜面体的速度。

２    “小球-曲面”模型

在“小球-曲面”模型中，可通过小球与曲面的接触点作切线，设切线与水平方向的夹角为θ，分析同上，如图３所示。

结论１  当小球上升到最大高度时，vy=0，则vx=v，即小球的水平速度等于曲面的速度。

结论２  当小球能冲出曲面，在曲面的最高点时，若接触点的切线竖直向上，则小球的水平速度等于曲面的速度，否则小球的水平速度不等于曲面的速度。

３    “小球-四分之一圆弧”模型

在“小球-四分之一圆弧”模型中，处理方法同“小球-曲面”模型，如图4所示。

结论１  当小球上升到最大高度时，vy=0，则vx=v，即小球的水平速度等于圆弧轨道的速度。

结论２ 当小球能冲出四分之一圆弧轨道，在轨道的最高点，二者接触面上小球速度方向竖直向上，vx=v，即小球的水平速度等于圆弧轨道的速度。

例题２ 如图5所示，一质量为２ｍ的带轨道的小车静止在水平面上，小车轨道的ＡＢ段水平，ＢＣ段为竖直的半径为Ｒ的四分之一圆弧。左侧平台与小车的水平轨道等高，小车静止时与平台间的距离可忽略。一质量为ｍ的滑块（可视为质点）水平向右以大小为６的初速度从左侧平台滑上小车。不计一切摩擦，重力加速度为ｇ。

（１）求滑块离开Ｃ点后相对于水平轨道ＡＢ上升的最大高度；

（２）若小车水平轨道ＡＢ相对水平面的高度为０．５Ｒ，求滑块从左端滑离小车后落地瞬间滑块与小车左端的距离为多少？

解析 （１）设滑块初速度为v0，在Ｃ点时速度为v，滑块从滑上小车至运动到最高点Ｃ的过程 中，滑块与小车水平方向动量守恒，有

mv0=（m+2m）v

滑块离开Ｃ点后水平方向不受力，到最高点时水平速度仍然为v。另外，滑块与小车组成的系统能量守恒，有

（２）略。

通过例题可以看出，正是因为在轨道最高点二者水平速度相等，对于能冲出轨道这类问题，往往以“小球（滑块）-四分之一圆弧”为模型。

４    “小球－滑环”模型

如图６所示，在水平光滑直杆上有一运动的滑环，小球通过轻质细线与滑环相连，小球可在竖直平面内摆动。仍然将小球的速度分解为水平方向的vx和竖直方向的vy，求出小球沿绳方向的速度为vxcosθ-vysinθ；将滑环的速度沿绳和垂直绳方向分解，其沿绳方向的分速度（下转第76页）（上接第69页）为vcosθ，由关联速度知识可知，二者在沿绳方向的速度相等，即

vxcosθ-vysinθ=vcosθ

在最高点时，vy=0，于是vx=v。

５    结  语

通过对以上四种经典模型的逐一分析可以看出：在不冲出轨道的前提条件下，在最高点水平速度相等；在能冲出轨道的情况下，“小球－四分之一圆弧”模型，在最高点水平速度相等。因此，在教学过程中，必须让学生从本质上理解，而不是简单地学会模仿。

参考文献：

［１］邝玉兰．以连接体模型为例的高中物理习题实验化教学探究［Ｊ］．广西物理，２０２３，44（１）：１０８－111，１１３.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2024-02-06

作者简介：蒋达东（1973-），男，中学高级教师，主要从事高中物理教学研究。